【推荐1】知，点B在射线上，点A是射线上的一个动点（不与点C重合）．点B关于的对称点为点D，连接和，点F在直线上，且满足．小明在探究图形运动的过程中发现：始终成立．

(1)如图1，当时．
①求证：；
②用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明；
(2)当时，直接用等式表示线段、与之间的数量关系是____________．

【推荐3】网格中每个小正方形的顶点称为格点，图1，图2中A，B，C均为格点．用无刻度的直尺完成下列画图，画图过程用虚线，画图结果用实线．
   


(1)如图1，M为与网格线的交点．先取格点N，使；再在上画点H，使；
(2)如图2，先在上画点D，使，再画的中线．

【推荐1】如图，点M，N把线段分割成，，，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．
   
(1)若点M，N是线段的勾股分割点，，，则的长为__________；
(2)已知M，N把线段分割成，，，若，，，则点M，N是线段的勾股分割点吗？请说明理由，
(3)已知点M，N是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．

【推荐2】如图，已知，AB是的直径，弦CD⊥AB于点E，∠ACD=30°，AE=3cm，求BD的长度．

【推荐3】如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面高．求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）．

【推荐1】已知：如图，在距旗杆25m的A处，用测角仪测得旗杆顶点C的仰角为30°，已知测角仪AB的高为1.5m，求旗杆CD的高(精确到0.1m)．

【推荐3】小颍想利用标杆和皮尺测量自己小区大门口前遮雨玻璃水平宽度，他在楼门前水平地面上选择一条直线，，在上距离C点8米的D处竖立标杆，，他沿着方向走了2米到点N处，发现他的视线从M处通过标杆的顶端E正好落在遮雨玻璃的B点处，继续沿原方向再走2米到点Q处，发现他的视线从P处通过标杆的顶端E正好落在遮雨玻璃的A点处，求遮雨玻璃的水平宽度．

【推荐1】已知正方形，点分别在射线，射线上，与交于点．
   
(1)如图1，当点分别在线段上时，则线段与的数量关系是 　　，位置关系是 　　．
(2)如图2，当点在线段延长线上时，将线段沿进行平移至，连接．
①依题意将图2补全；
②请你通过实验和观察，试猜想在点运动的过程中线段的数量关系，并证明你的结论．

【推荐2】如图，四边形ABCD是一个正方形，E、F分别在AD、DC边上，且DE=CF，AF、BE交于O点，请说出线段AF和BE的关系，并证明你的结论．

【推荐3】已知：如图，线段a．求作：正方形ABCD，使正方形ABCD的对角线AC=a．