［问题情境］如图1，
，
，直线
是经过点A的直线，
于D，
于E，则
．
(1)［类比训统］如图2，
中，，，直线是经过点A的任一直线，于D，于E，证明：
．
(2)［问题创设］如图3，在
中，，若顶点A在直线m上，点D，E也在直线m上，如果
，那么（1）中结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，
，
，
三条线段之间有怎样的数量关系？直接写出结论．
(3)［情境更换］如图4，把等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内，已知直角顶点H在y轴正半轴上，顶点G在第一象限且使其横、纵坐标始终相等，
①若另一顶点
落在第四象限，求
的值；
②直接写出顶点K的横、纵坐标的关系．
，，直线是经过点A的直线，于D，于E，则． (1)［类比训统］如图2，
中，，，直线是经过点A的任一直线，于D，于E，证明：．(2)［问题创设］如图3，在
中，，若顶点A在直线m上，点D，E也在直线m上，如果，那么（1）中结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，，，三条线段之间有怎样的数量关系？直接写出结论．(3)［情境更换］如图4，把等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内，已知直角顶点H在y轴正半轴上，顶点G在第一象限且使其横、纵坐标始终相等，
①若另一顶点
落在第四象限，求的值；②直接写出顶点K的横、纵坐标的关系．
更新时间：2023-07-25 08:53:48
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【推荐1】如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，是等腰直角三角形，点A，点B在x轴上（点A在点B的左侧），点C在y轴的正半轴上，点D在直线BC上运动，连结AD与y轴交于点E，连结BE．
(1)当点D从点C运动到点B（C，B两点除外）时，求证：
．
(2)如图2，过B，D，E三点作⊙H与y轴的另一个交点为G，延长EH交⊙H于点F，连结GF，DG，BF．求
的度数．
(3)在（2）的条件下，若
，点D在运动过程中，
中是否有一个角等于
，如果存在，求出此时点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
是等腰直角三角形，点A，点B在x轴上（点A在点B的左侧），点C在y轴的正半轴上，点D在直线BC上运动，连结AD与y轴交于点E，连结BE．(1)当点D从点C运动到点B（C，B两点除外）时，求证：
．(2)如图2，过B，D，E三点作⊙H与y轴的另一个交点为G，延长EH交⊙H于点F，连结GF，DG，BF．求
的度数．(3)在（2）的条件下，若
，点D在运动过程中，中是否有一个角等于，如果存在，求出此时点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
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【推荐2】若整式A只含有字母
，且A的次数不超过3次，令
，其中，
，
，
为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：
为整式
的关联点，我们规定次数超过3次的整式没有关联点．例如，若整式
，则
，
，
，
，故A的关联点坐标为
(1)若
，则A的关联点坐标为_______________
(2)已知整式
是
与
的乘积，其中
，若整式的关联点为
，求
和
的值
(3)若整式
，整式
是只含有字母的一次多项式，整式
是整式
与整式的平方的乘积，若整式的关联点为
，请直接写出整式的表达式
，且A的次数不超过3次，令，其中，，，为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：为整式的关联点，我们规定次数超过3次的整式没有关联点．例如，若整式，则，，，，故A的关联点坐标为(1)若
，则A的关联点坐标为_______________(2)已知整式
是与的乘积，其中，若整式的关联点为，求和的值(3)若整式
，整式是只含有字母的一次多项式，整式是整式与整式的平方的乘积，若整式的关联点为，请直接写出整式的表达式
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【推荐3】课本呈现：
问题探究：
(1)小红给出的证明思路为：以为原点，
所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线．请你帮小红完成证明；
(2)如图，将正方形沿图中虚线剪成①②③④四块图形（其中
），用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形），求
的值．
直觉的误差 有一张  的正方形纸片，面积是 ．把这张纸片按图1所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是四边形．把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个 的长方形，面积是 ，面积多了 ，这是为什么？小明给出如下证明：如图2，可知，  ， ，∵  ，∴ ．∵  ，∴ ，∴ ．因此 、、三点不共线．同理、 、三点不共线，所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了．
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为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线．请你帮小红完成证明；(2)如图，将正方形沿图中虚线剪成①②③④四块图形（其中
），用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形），求的值．
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【推荐1】如图1，正方形ABCD的边长为a，E为边CD上一动点（点E与点C、D不重合），连接AE交对角线BD于点P，过点P作PF⊥AE交BC于点F．
（1）求证：PA＝PF；
（2）如图2，过点F作FQ⊥BD于Q，在点E的运动过程中，PQ的长度是否发生变化？若不变，求出PQ的长；若变化，请说明变化规律．
（3）请写出线段AB、BF、BP之间满足的数量关系，不必说明理由．
（1）求证：PA＝PF；
（2）如图2，过点F作FQ⊥BD于Q，在点E的运动过程中，PQ的长度是否发生变化？若不变，求出PQ的长；若变化，请说明变化规律．
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【推荐2】如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将
沿
折叠后得到
，且G点在矩形ABCD内部，将BG延长交DC于点F．
（1）判断GF与DF之长是否相等，并说明理由．
（2）问题解决：若
，
，求AD的值．
（3）类比探究：若
，求
的值．
沿折叠后得到，且G点在矩形ABCD内部，将BG延长交DC于点F．（1）判断GF与DF之长是否相等，并说明理由．
（2）问题解决：若
，，求AD的值．（3）类比探究：若
，求的值．
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，点
，且
．过点
作
交
于点
交
．
时，求
的度数．
时；
．
．
为多少度时，
．
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【推荐1】如图1，在平面直角坐标系中，点
，点
，点
分别在
轴和轴上，并且
关于轴对称．
(1)若
，直接写出
_________，
_________，
_________；
(2)如图2，在（1）的条件下，点
是线段
的延长线上一点，
，
点从出发运动至，速度为每秒1个单位长度，同时点
从出发在射线
上运动，速度为每秒个单位，当
两点运动
秒时，
与
全等，求
的值；
(3)如图3，点为上一点，
轴于点，点为轴上点左侧一点，
，若
，猜想与
的数量关系，并证明．
，点，点分别在轴和轴上，并且关于轴对称． (1)若
，直接写出_________，_________，_________；(2)如图2，在（1）的条件下，点
是线段的延长线上一点，，点从出发运动至，速度为每秒1个单位长度，同时点从出发在射线上运动，速度为每秒个单位，当两点运动秒时，与全等，求的值；(3)如图3，点
为上一点，轴于点，点为轴上点左侧一点，，若，猜想与的数量关系，并证明．
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【推荐2】在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上的动点，连接作等腰直角三角形
且
．
(1)当点B在y轴负半轴上时，
①如图1，若
，则
______度；
②如图2，交x轴于点E，
轴与交于点F，若
，求证：
平分
；
(2)如图3，当点B在y轴正半轴上且
时，若
，取点
，连接
交x轴于点Q．当点B运动时，
的长度是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．
作等腰直角三角形且．(1)当点B在y轴负半轴上时，
①如图1，若
，则______度；②如图2，
交x轴于点E，轴与交于点F，若，求证：平分；(2)如图3，当点B在y轴正半轴上且
时，若，取点，连接交x轴于点Q．当点B运动时，的长度是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．
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，将
．P是对角线
．
______
（填“
”或“
”）；
，
，请直接写出
的度数．（用含
的代数式表示）
