【推荐1】在正方形ABCD的外侧，作△ADE和△DCF，连接AF、BE交于一点H．（友情提醒：正方形的四条边都相等，即AB＝BC＝CD＝DA；四个内角都是90°，即∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°）

（1）如图①，若△ADE和△DCF是等边三角形，求证：AF＝BE，AF⊥BE；
（2）如图②，若△ADE和△DCF为一般三角形，其中AE＝DF，ED＝FC，则第（1）问中的结论 AF＝BE仍然成立吗?若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

【推荐2】如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点为平面内一点，

(1)点 _______一次函数的图象；（填“不在”或“在”）
(2)若一次函数的图象经过点，与轴交于点．
①求的长；
②求证：平分；
③若正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，且点、点到一次函数的图象的距离相等，则符合条件的值为_______．

【推荐3】课本再现

思考 我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理：； 对角线相等的平行四边形是矩形．

(1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程，
已知：在中，对角线．
求证：是矩形．
(2)知识应用：如图2，在中，对角线和相交于点O，是等边三角形，．
①求证：是矩形；
②延长至点E，连接交于点F，若，求的值．

【推荐1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，AB＝10cm，AC∶BC＝4∶3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．
（1）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm²），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x＝5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．
（3）当点Q在BC边上运动时，是否存在x，使得以△PBQ的一个顶点为圆心作圆时，另外两个顶点均在这个圆上，若存在，求出 x的值；不存在，说明理由.

【推荐1】如图，在四边形ABCD中，AC⊥AD，∠ABC=∠ADC．在BC延长线上取点E，使得DC=DE．
（1）如图1，当AD∥BC时，求证：①∠ABC=∠DEC；②CE=2BC；
（2）如图2，若tan∠ABC=，BE=10，设AB=x，BC=y，求y与x的函数表达式．

【推荐3】如图，在中，，，，点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动．当点不与点、重合时，在边上取一点，满足，过点作，交边于点，以、为边做矩形.设点的运动时间为秒.
（1）用含的代数式表示线段的长;
（2）当矩形为正方形时，求的值;
（3）设矩形与重叠部分图形的周长为，求与之间的函数关系式;
（4）作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点.当、这两点中只有一个点在矩形内部时，直接写出此时的取值范围.

【推荐1】（1）如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证：＝．
（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为　 　．
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝12，BC＝CD＝4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．

【推荐2】定义：若中，其中一个内角是另一个内角的一半，则称为“半角三角形”．
（1）若为半角三角形，，则其余两个角的度数为          ．
（2）如图1，在平行四边形中，，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点恰好落在边上的点，若，求证：为半角三角形；
（3）如图2，以的边为直径画圆，与边交于，与边交于，已知的面积是面积的倍．
①求证：．
②若是半角三角形，，直接写出的取值范围．