【推荐1】如图，中，，的平分线交于D，点的圆心在上，且经过两点，交于点．

   

(1)求证：切于点；
(2)若，求的长及的值．

【推荐2】在一次数学探究活动中，张老师设计了一份活动单：已知线段，使用作图工具作．尝试操作后思考：这样的点唯一吗？点的位置有什么特征？你有什么感悟？某学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），……小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图①）．

(1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为___________；
②面积的最大值为___________；
(2)经过对比发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图①所示的弓形外部，我们记为，请你利用图①证明．
(3)请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图②，已知矩形的边长，，点在直线的左侧，且，则线段长的最小值为___________．

【推荐3】如图，四边形是的内接四边形，且，垂足为为延长线上一点．

(1)求证：平分；
(2)若，求和的半径长．

【推荐1】在等边中，点在边上，以为半径的交于点，过点作于点．
（1）如图1，求证：为的切线；
（2）如图2，连接交于点，若为中点，求的值．

   

【推荐2】如图，的半径是，AB是的直径，半径于点O，点E是半径上一点，交于点D，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求：和的长．

【推荐3】如图，是的直径，是的弦，点在的延长线上，且，．
   
(1)求证是的切线．
(2)若，求图中阴影部分的面积．

【推荐1】如图，内接于，是的直径，过上的点作，交的延长线于点，交于点，点为的中点，连接．

(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．

【推荐2】如图，在中，对角线交于点O，且点E是边上一点，连接，若于点E，且，

(1)求证：四边形为矩形；
(2)延长交的延长线于点F，若，，求边的长度．

【推荐3】如图，在中，，以上一点为圆心，长为半径的圆与相切于点，分别交、于点、．
   
(1)若，，求的半径；
(2)连接、、、．若四边形是平行四边形，试判断四边形的形状，并说明理由．

【推荐1】如图，OA和OB是⊙O的半径，OB＝2，OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q的⊙O的切线交OA延长线于点R．
（1）求证：RP＝RQ；
（2）若OP＝PQ，求PQ的长．

【推荐2】如图，在△ABC中，∠A =105°，∠C=30°，AB =4，求BC的长．

【推荐3】如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，≈1.4，≈1.7等数据信息，解答下列问题：
（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？
（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？