【推荐1】细心观察图形，认真分析各式，然后回答问题：

OA12＝1；+1＝2； +1＝3 +1＝4；…

S1＝；S2＝；S3＝；…

（1）推算OA₁₀的长和S₁₀的值；
（2）直接用含n（n为正整数）的式子表示OA_n的长和S_n的值；
（3）求S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀²的值．

【推荐2】如图，平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，过作轴于点，过作于点D．

(1)填空：______，______；
(2)求的长．

【推荐3】已知和都是等腰三角形，且，，．
   
(1)[初步感知如图①，当点、分别落在边、上时，那么 ______填、或
(2)发现证明如图②，将图①中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：；
(3)[深入研究如图③，如果和都是等边三角形，且点、、在同一条直线上，则的度数为______；线段、之间的数量关系为______；
(4)[拓展应用如图④，如果和都是等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，作，若，，求的长．

【推荐1】如图，矩形ABCD的对角线AC＝8cm，∠AOB＝60°，求BC的长．

【推荐2】如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE＝AB，点P从点D
出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，直线EP交AD于点F，过点F作
直线FG⊥DE于点G，交AB于点R．

（1）求证：AF＝AR；
（2）设点P运动的时间为t，
①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形；
②如图2，连接PB．请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值.

【推荐3】如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，点为中点，连接、．
（1）试判断的形状；
（2）求的度数．

【推荐1】如图，中，，，分别为边，的中点，交的延长线于点．

（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，求证：四边形为菱形．

【推荐2】如图，矩形中，点、分别在、上，将矩形沿直线叠，点落在点处，点落在点处，与交于点．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．

【推荐3】如图，在矩形中，.
(1)请用尺规作图法，在矩形中作出以为对角线的菱形，且点分别在上.(不要求写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，求菱形的边长.