【推荐3】在查阅勾股定理证明方法的过程中，小明看到一种利用“等积变形一同底等高的两个平行四边形的面积相等”证明勾股定理的方法，并尝试按自己的理解将这种方法介绍给同学．

(1)根据信息将以下小明的证明思路补充完整：
①如图1，在中，，四边形，四边形，四边形都是正方形．延长交于点M，过点C作交的延长线于点N，可得四边形的形状是_________；
②在图1中利用“等积变形”可得_________；
③如图2，将图1中的四边形沿直线向下平移的长度，得到四边形，即四边形；
④设交于点T，延长交于点H，在图2中再次利用“等积变形”可得_________，则有_________．
⑤同理可证，因此得到，进而证明了勾股定理．
(2)小芳阅读完小明的证明思路后，对其中的第③步提出了疑问，请将以下小明对小芳的说明补充完整：图1中__________________，则有_________，由于平行四边形的对边相等，从而四边形沿直线向下平移的长度，得到四边形．

【推荐1】如图，在正方形中，，将正方形绕点按顺时针方向旋转得到正方形．动点从点出发，沿方向运动，运动速度为．过点作的垂线，交于点，连接，交于点．设动点的运动时间为（）．解答下列问题：

(1)当为何值时，？
(2)设的面积为，求与之间的关系式；
(3)当运动时间为时，求的长；
(4)若是的中点，在运动的过程中，点到两边距离的和是否为定值？请说明理由．

【推荐3】(1)问题：如图1，在⊙中，，点P在弧上，于M，求证：；
(2)运用：如图2，、为⊙的弦，且于M，过A点的切线，，，求的长．

【推荐2】在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是直角三角形，，，，点A在y轴正半轴，点B在x轴正半轴，D点从O点出发，沿x轴正半轴方向运动，以OD为边在第一象限内作等边△ODE．

(1)当E恰好落在线段AB上，求OE的长；
(2)在（1）的条件下，把△OED沿x轴正方向平移得到，点O，D，E的对应点分别为，，，线段和与线段AB分别交于点F和点M，连接OF交于点N．在平移过程中，
①设的长为x，与△AOB重叠部分的面积为y，试用含有x的代数式表示y，并直接写出x的取值范围；
②线段MN的长为______；
(3)点D在运动过程中，设OD的长为t，△ODE与△AOB重叠部分的面积为S，当S最大时，点D停止运动，将△AOB绕点O顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为，，连接，，直接写出面积的取值范围．

【推荐3】如图，已知矩形ABCD，点E在边CD上，连接BE，过C作CM⊥BE于点M，连接AM，过M作MN⊥AM，交BC于点N．

(1)求证：△MAB∽△MNC；
(2)若AB＝4，BC＝6，且点E为CD的中点，求BN的长；
(3)若，且MB平分∠AMN，求的值．