【推荐1】在半圆O中，AB为直径，AC、AD为两条弦，且∠CAD+∠CAB＝90°．

（1）如图1，求证：弧AC等于弧CD；
（2）如图2，点E在直径AB上，CE交AD于点F，若AF＝CF，求证：AD＝2CE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BD，若AE＝4，BD＝12，求弦AC的长．

【推荐2】如图，已知正方形ABCD，点E是边AB上一点，点O是线段AE上的一个动点（不与A、E重合），以O为圆心，OB为半径的圆与边AD相交于点M，过点M作⊙O的切线交DC于点N，连结OM、ON、BM、BN．

求证：（1）△AOM∽△DMN； （2）求∠MBN的度数．

【推荐3】如图1，点为的外角的平分线上一点，，于．

(1)求证：；
(2)若，连接，，，求的长度；
(3)如图2，若，分别是边，上的点，且，求证：．

【推荐1】如图1，▱ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且 点G在□ABCD内部．将BG延长交DC于点F．
（1）猜想并填空：GF　 　DF（填“＞”、“＜”、“=”）；
（2）请证明你的猜想；
（3）如图2，当∠A=90°，设BG=a，GF=b，EG=c，证明：c²=ab．

【推荐2】如图1，在矩形ABCD中，，动点从出发．以每秒个单位的速度，沿射线方向移动，将沿直线翻折，得到，设点的运动时间为，

(1)如图2，当点落在上时，显然是直角三角形，求此时的值；
(2)是否存在异于图的时刻，使得是直角三角形若存在，请写出所有符合题意的的值若不存在，请说明理由．

【推荐3】在矩形ABCD中，AB=3， BC=4，点O为矩形ABCD对角线的交点，点P为AD边上任意一点．
（1）如图1，连接PO并延长，与BC边交于点Q．求证: AP=CQ；
（2）如图2，连接BP、DQ，将△ABP与△CDQ分别沿BP与DQ翻折，点A与点C分别落在矩形ABCD内的点A′、C′处，连接PA′、QC′，试求证:四边形PA′QC′是平行四边形；
（3）在（2）的条件下，请直接写出:当点A′、C′同时落在矩形ABCD的对角线上时A′C′的长．

【推荐1】在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．
（1）当点O为AC中点时：
①如图1，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）；
②如图2，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的结论是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）当点O不是AC中点时，如图3，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若，则     ．

【推荐2】义：有两个相邻内角和等于另两个内角和的一半的四边形称为半四边形，这两个角的夹边称为对半线．
（1）如图1，在对半四边形ABCD中，∠A+∠B=（∠C+∠D），求∠A与∠B的度数之和；
（2）如图2，O为锐角△ABC的外心，过点O的直线交AC，BC于点D，E，∠OAB=30°，求证：四边形ABED是对半四边形；
（3）如图3，在△ABC中，D，E分别是AC，BC上一点，CD=CE=3，CE=3EB，F为DE的中点，∠AFB=120°，当AB为对半四边形ABED的对半线时，求AC的长．

【推荐3】有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角．
（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A为智慧角，则∠B的度数为______；
（2）如图①，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，求证：△ABC是智慧三角形；
（3）如图②，△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B 为智慧角，A（3，0），点B，C在函数y＝（x＞0）的图像上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为．当△ABC是直角三角形时，求k的值．