综合与实践——探究图形旋转中的问题，问题背景：在一次综合实践活动课上，同学们以两个菱形为对象，研究相似菱形旋转中的数学问题．已知菱形
菱形
，它们各自对角线的交点重合于点
，且
，
，
，
观察发现：（1）如图1，若
，连接
，
，则与的数量关系是 ；
操作探究：（2）保持图1中的菱形
不动，将菱形从图1的位置开始绕点O顺时针旋转，设旋转角为α．
①当
时，得到图2．此时（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
②小颖发现，在菱形绕点O顺时针旋转到图3位置时，连接
，
，
判断四边形
的形状，并说明理由；
③当菱形绕点O旋转至A，
，
三点共线时，直接写出此时线段的长．
菱形，它们各自对角线的交点重合于点，且，，， 观察发现：（1）如图1，若
，连接，，则与的数量关系是 ；操作探究：（2）保持图1中的菱形
不动，将菱形从图1的位置开始绕点O顺时针旋转，设旋转角为α．①当
时，得到图2．此时（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；②小颖发现，在菱形
绕点O顺时针旋转到图3位置时，连接，，判断四边形的形状，并说明理由；③当菱形
绕点O旋转至A，，三点共线时，直接写出此时线段的长．
更新时间：2023-09-08 16:08:51
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】如图1，在
中，
的角平分线交边
于点D，甲、乙两人想作菱形
，使得E、F两点分别在边
和边
上，他们的作法如下：甲：作
的中垂线分别交、于点E、F，连接
、
，则四边形即为所求；乙：分别作
交边于点E，
交于点F，则四边形即为所求；
(1)对于两人的作法，你认为：______
A．甲、乙都对； B．甲、乙都错； C．甲正确，乙错误； D．甲错误、乙正确；
请你选择一种甲或乙中你认为正确的作法进行证明（作图无须用尺规）；
(2)如图2，菱形中，过点F作
，垂足为点G，若点G是
的中点，
，求的长．
中，的角平分线交边于点D，甲、乙两人想作菱形，使得E、F两点分别在边和边上，他们的作法如下：甲：作的中垂线分别交、于点E、F，连接、，则四边形即为所求；乙：分别作交边于点E，交于点F，则四边形即为所求； (1)对于两人的作法，你认为：______
A．甲、乙都对； B．甲、乙都错； C．甲正确，乙错误； D．甲错误、乙正确；
请你选择一种甲或乙中你认为正确的作法进行证明（作图无须用尺规）；
(2)如图2，菱形
中，过点F作，垂足为点G，若点G是的中点，，求的长．
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解答题-问答题
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(0.4)
名校
【推荐2】在平面直角坐标系xOy中，如果点A、点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A、C在直线y=x上，那么称该菱形为点A、C的“极好菱形”．如图为点A、C的“极好菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为（1，1），点P的坐标为（3，3）．
(1)点E（2，4），F（1，3），G（4，0），H（3，2）中，能够成为点M、P的“极好菱形”的顶点的是 ；
(2)如果四边形MNPQ是点M、P的“极好菱形”．
①当点N的坐标为（
，
）时，求四边形MNPQ的面积；
②当四边形MNPQ的面积为12，且与直线y=x+b有公共点时，求出b的取值范围．
(1)点E（2，4），F（1，3），G（4，0），H（3，2）中，能够成为点M、P的“极好菱形”的顶点的是 ；
(2)如果四边形MNPQ是点M、P的“极好菱形”．
①当点N的坐标为（
，）时，求四边形MNPQ的面积；②当四边形MNPQ的面积为12，且与直线y=x+b有公共点时，求出b的取值范围．
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、
，直线
与
沿直线
．
是直线
上方抛物线上的一动点，连接
、
，设
的面积为
在平面直角坐标系内，若以点
、
、
解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，已知直线
与x轴交于点A、与y轴交于点B，抛物线
经过点A、B．
(2)P是抛物线上一点，且位于直线上方，过点P作
轴、
轴，分别交直线点M、N．
①当
时，求点P的坐标；
②连接
交于点C，当点C是
的中点时，直接写出
的值．
与x轴交于点A、与y轴交于点B，抛物线经过点A、B．
(2)P是抛物线上一点，且位于直线
上方，过点P作轴、轴，分别交直线点M、N．①当
时，求点P的坐标；②连接
交于点C，当点C是的中点时，直接写出的值．
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(0.4)
【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−
x2+
x+2与x轴相交于点A、B，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点N，交线段AC于点M．点F是线段MA上的动点，连接NF，过点N作NG⊥NF交△ABC的边于点G．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）当点G在边BC上时，连接GF，∠NGF的度数变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出∠NGF的正切值；
（3）设点F的横坐标为n，点G的纵坐标为m，在整个运动过程中，直接写出m与n的函数关系式，并注明自变量n的取值范围．
x2+x+2与x轴相交于点A、B，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点N，交线段AC于点M．点F是线段MA上的动点，连接NF，过点N作NG⊥NF交△ABC的边于点G．（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）当点G在边BC上时，连接GF，∠NGF的度数变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出∠NGF的正切值；
（3）设点F的横坐标为n，点G的纵坐标为m，在整个运动过程中，直接写出m与n的函数关系式，并注明自变量n的取值范围．
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中，直线
与反比例函数
的图象交于
，B两点．
，连接
，求
的面积；
的图象上，线段
，求k的值．
解答题-问答题
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐1】在平面直角坐标系中，抛物线
与
轴交于
两点(点
在点
左侧)，与
轴交于点
，连接
，将
沿所在的直线翻折，得到
，连接
．
(1)点的坐标为 ，点的坐标为 ；
(2)如图1，若点
落在抛物线的对称轴上，且在轴上方，求抛物线的解析式．
(3)设
的面积为
，
的面积为
，若
，求
的值．
与轴交于两点(点在点左侧)，与轴交于点，连接，将沿所在的直线翻折，得到，连接 ．(1)点
的坐标为 ，点的坐标为 ；(2)如图1，若点
落在抛物线的对称轴上，且在轴上方，求抛物线的解析式．(3)设
的面积为，的面积为，若，求的值．
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(0.4)
【推荐2】如图，
是等边三角形，
．动点从点出发，沿
方向运动，运动速度为
，同时，动点
从点出发，沿
方向运动，运动速度为
．过点作
的平行线，交
于点
，以
，
为邻边作平行四边形
，连接
．当点和点重合时，运动停止．设运动的时间为
．
(1)当
为何值时，平行四边形为菱形？
(2)设
的面积为
，写出
与的函数关系式；
(3)连接
，
，是否存在某一时刻，使
为等腰三角形？若存在求出值，若不存在，请说明理由．
是等边三角形，．动点从点出发，沿方向运动，运动速度为，同时，动点从点出发，沿方向运动，运动速度为．过点作的平行线，交于点，以，为邻边作平行四边形，连接．当点和点重合时，运动停止．设运动的时间为． (1)当
为何值时，平行四边形为菱形？(2)设
的面积为，写出与的函数关系式；(3)连接
，，是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在求出值，若不存在，请说明理由．
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．如图①在
中，
，顶角
，这时
．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
;
．
中，
，已知
，试求
与
分别在线段
上，且
是等腰三角形，设
，当
时，求点
的坐标．（请直接写出结果）
解答题-作图题
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(0.4)
名校
【推荐1】作图：
（1）如图1，已知平行四边形ABCD和⊙O，在图1中，画一条直线分别平分平行四边形ABCD和⊙O的面积
（2）如图2，已知AB、AC是⊙O的两条弦，∠ACD＝40°，画一个含40°的直角三角形
（3）如图3，是由小正方形组成的6×6的网格，A、O都是格点，⊙O的半径是OA，B是⊙O与网格线的交点
①在图3中，将半径OB绕点O顺时针旋转90°得到半径OC，画半径OC
②在图3中，画
的中点M
（1）如图1，已知平行四边形ABCD和⊙O，在图1中，画一条直线分别平分平行四边形ABCD和⊙O的面积
（2）如图2，已知AB、AC是⊙O的两条弦，∠ACD＝40°，画一个含40°的直角三角形
（3）如图3，是由小正方形组成的6×6的网格，A、O都是格点，⊙O的半径是OA，B是⊙O与网格线的交点
①在图3中，将半径OB绕点O顺时针旋转90°得到半径OC，画半径OC
②在图3中，画
的中点M
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐2】平面直角坐标系中，
，
，
，且满足：
，E、D分别为x轴和y轴上动点，满足
．
(1)点B的坐标是______；
(2)如图1，若D为线段
中点，求E点坐标；
(3)当E，D在x轴和y轴上运动时，试探究
和之间的关系．
，，，且满足：，E、D分别为x轴和y轴上动点，满足．(1)点B的坐标是______；
(2)如图1，若D为线段
中点，求E点坐标；(3)当E，D在x轴和y轴上运动时，试探究
和之间的关系．
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，
都是等边三角形．
与
有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？
绕着点A逆时针旋转
得到
，连接
．
，
的面积相等
与
，DC与BE交于点H，过点C向上作线段
于点C，
，连接
．请直接写出
