【推荐1】如图1，矩形OABC顶点B的坐标为（8，3），定点D的坐标为（12，0），动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，PQ两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒．
（1）当t=　 　时，△PQR的边QR经过点B；
（2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；
（3）如图2，过定点E（5，0）作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN=45°，求t的值．

【推荐2】定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“和谐四边形”，这条对角线叫“和谐线”．

(1)如图1，在的正方形网格中，有一个网格和两个网格四边形与四边形，其中是被分割成的“和谐四边形”的是______．
(2)如图2，平分，，，四边形是被分割成的“和谐四边形”，求长；
(3)如图3，A为抛物线的顶点，抛物线与轴交于点B，C．在线段上有一个点，在射线上有一个点Q．P、Q两点分别以个单位/秒，5个单位/秒的速度同时从出发分别沿BA，BC方向运动，设运动时间为，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点，使得四边形是以为和谐线分割的“和谐四边形”，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，在矩形中，，，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为每秒1个单位，过点作，交对角线于点．点从点出发，沿对角线向点匀速运动，速度为每秒1个单位．两点同时出发，以、为邻边作平行四边形．设的运动时间为秒．
   
(1)当______秒时，沿直线翻折，点与点重合；
(2)当点在上时，求的值；
(3)设平行四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并提供相应的的取值范围．

【推荐1】如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点．
   
(1)求反比例函数的解析式和点的坐标．
(2)点为第一象限内反比例函数图像上一点，过点作轴的平行线，交直线于点，连接，如果的面积为，求点的坐标．
(3)点在轴上，反比例函数图像上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

【推荐3】如图1，在平面直角坐标系中，正方形的边长为6，点A、C分别在x、y正半轴上，点B在第一象限．点P是x正半轴上的一动点，且，连结，将线段绕点P顺时针旋转90度至，连结，取中点M．

（1）当时，求Q与M的坐标；
（2）如图2，连结，以、为邻边构造平行四边形．记平行四边形的面积为S．
①用含t的代数式表示．
②当N落在的直角边上时，求的度数．

【推荐1】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形与长方形的位置如图所示，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点B的横坐标为a，点D，E在x轴的负半轴上（点E在点D的右侧），点G的坐标为（，，实数a，b的值满足．
（1）求点F的坐标；
（2）长方形以每秒1个单位长度的速度向右平移秒得到矩形，点分别为点D，E，F，G平移后的对应点，设矩形与正方形重合部分的面积为S，用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的范围；
（3）在（2）的条件下，在长方形出发运动的同时，点P从点O出发，沿正方形的边以每秒2个单位长度的速度顺时针方向运动（即），连接，，当三角形的面积为15时，求时相应的t值，并直接写出此时刻S值及点P的坐标．

   

【推荐2】如图，在中，，，，为的中点，动点从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点匀速运动（点不与A、、重合），过点作的垂线交折线于点．以、为邻边构造矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为S，点的运动时间为秒．

(1)直接写出的长（用含的代数式表示）；
(2)当点落在的边上时，求的值；
(3)当矩形与重叠部分图形为矩形时，求S与的函数关系式，并写出的取值范围；
(4)沿直线将矩形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请直接写出所有符合条件的的值．

【推荐3】如图，在矩形中，点O为坐标原点，点B的坐标为，点A、C在坐标轴上，点D在边上，直线．

(1)分别求直线l与边、边的交点坐标；
(2)当点D为边的中点时，点M，N为边上两个动点且，求四边形周长的最小值；
(3)已知点E在第一象限，且是直线l上的点，若是等腰直角三角形，直接写出点E的坐标；

【推荐1】图1是一张面积为，两直角边的和为的三角形纸片，，．
   
(1)求，的长；
(2)沿三角形纸片的斜边的中线把这张纸片剪成和两个三角形（如图2）．将纸片沿直线方向平移(点，，，始终在同一直线上)，当点与点重合时，停止平移（如图3）．在平移的过程中，与交于点，与，分别交于点，．设平移距离为，和重复部分面积为，请写出与的函数关系式，以及自变量的取值范围；
(3)对于（2）中结论是否存在这样的，使得重复部分面积等于原面积的？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．