【推荐1】在中，，D是边上一点，以为直径作交于点F，并且与相切于点E，连接．
   
(1)求证：；
(2)若的半径为5，，求的长．

【推荐2】已知半径为，若点在外且上存在点使得，则称点是的领域点．

(1)对以下情况，用三角板或量角器尝试画图，并判断点是否是的领域点（在横线上填“是”或“不是”）．

(2)若点是的领域点，则的取值范围是__________；
(3)如图，以圆心为坐标原点建立平面直角坐标系，设直线与轴、轴分别相交于点．
①若线段上有且只有一个点是的领域点，求的值；
②若线段上存在的领域点，求的取值范围．

【推荐1】如图，在6×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动．
（1）求BD的长；
（2）求运动时间t为多少秒时，为等腰三角形？
   

【推荐3】如图，已知一次函数与两坐标轴分别交于A、B两点，动点P从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿x轴正方向运动，连接AP．设运动时间为．

（1）当t为何值时，的面积为6？
（2）若，请在所给的图中画出中AP边上的高BQ，问：当t为何值时，BQ长为4？并直接写出此时Q的坐标．

【推荐1】2022年10月13日将是第26个国际减灾日，主题是“掌握防灾减灾知识，保护生命安全”，各有关部门要切实加强防灾减灾宣传教育，大力推广和普及科普知识和自救互救技能，逐步提升全民防灾减灾意识．云梯消防车在某小区工作时，云梯臂能达到的最大高度为点C处此时云梯臂长为40米，它与水平面的夹角为，转动点A距地面的高度为3.8米．已知该小区高层住宅楼的层高是2.8米，请你通过计算说明：家住15楼的求救者能被顺利施救吗？（消防员身高、窗台高度等因素不作考虑）（参考数据，，）

【推荐2】下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程．
已知∶如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，O为AC的中点．

   

求作∶四边形ABCD，使得四边形ABCD为矩形．
作法∶①作射线BO，在线段BO的延长线上取点D，使得DO=BO；
②连接AD，CD，则四边形ABCD为矩形．
根据小丁设计的尺规作图过程．
(1)使用直尺和圆规，在图中补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明∶∴点O为AC的中点，
∴AO=CO．
又∵DO=BO，
∵四边形ABCD为平行四边形(__________)(填推理的依据)．
∵∠ABC=90°，
∴ABCD为矩形(_________)(填推理的依据)．

【推荐3】如图，已知菱形的对角线、相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的周长．