【推荐2】如图，是等边三角形，D是线段上一动点，点E在延长线上，且，射线平分交于点F．

(1)证明；
(2)猜想线段的数量关系，并证明你的猜想；
(3)当点D在直线上运动，点E在直线上运动（B，E不重合），其余条件不变，则（2）的结论还成立吗？若有不同结论，请借助备用图，画出图形，写出的数量关系，并选择一种情况证明．

【推荐3】如图1，若△DEF的三个顶点D，E，F分别在△ABC各边上，则称△DEF是△ABC的内接三角形．
（1）如图2，点D，E，F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF是△ABC的内接 　 　．
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或等边三角形
D．直角三角形
（2）如图3，已知等边三角形ABC，请作出△ABC的边长最小的内接等边三角形DEF．（保留作图痕迹，不写作法）
（3）问题：如图4，△ABC是不等边三角形，点D在AB边上，是否存在△ABC的内接等边三角形DEF？如果存在，如何作出这个等边三角形？
①探究1：如图5，要使△DEF是等边三角形，只需∠EDF＝60°，DE＝DF．于是，我们以点D为角的顶点任作∠EDF＝60°，且DE交BC于点E，DF交AC于点F．
我们选定两个特殊位置考虑：位置1（如图6）中的点F与点C重合，位置2（如图7）中的点E与点C重合．在点E由位置1中的位置运动到位置2中点C的过程中，DE逐渐变大而DF逐渐变小后再变大，如果存在某个时刻正好DE＝DF，那么这个等边三角形DEF就存在（如图8）．理由：　 　是等边三角形．
②探究2：在BC上任取点E，作等边三角形DEF（如图9），并分别作出点E与点B、点C重合时的等边三角形DBF′和DCF″．连接FF'，FF″，证明：FF'+FF″＝BC．
③探究3：请根据以上的探究解决问题：如图10，△ABC是不等边三角形，点D在AB边上，请作出△ABC的内接等边三角形DEF．（保留作图痕迹，不写作法）

【推荐1】在正方形中，点为边上一点．连接，将沿折叠得到，，分别交于点，，连接．

(1)如图1，点是的中点．
①若，则_________（用含的式子表示）；
②求证：；
(2)如图2，若，，求的长．

【推荐2】中，，于D，于E，交于F

(1)求证：；
(2)求（用含m的代数式表示）；
(3)当时，求的最大值．

【推荐1】如图（1）所示，已知在中，，在边上，点为边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点．

   

(1)如果，求证：四边形为平行四边形；
(2)如图（2）所示，联结，如果，求边的长；
(3)联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值．

【推荐2】在中，，，，D为AC中点，E为AB上的动点（点E不与A、B重合），是经过点C、D、E三点的圆；

(1)当E为AB中点时，如图1，的半径为______；
(2)如图2，当经过点B时，求弦BE的长；
(3)如图3，当与AB相切时，求BE的长．