(1)易证,可知的数量关系为________________,位置关系为________________
(2)连接,若,求的长.
【初步探究】如图,在正方形中,点为边上一点,分别交、于,垂足为.求证:.
【基本应用】如图3,将边长为的正方形折叠,使得点落在边的中点处,折痕为,点分别在边上,求的长.
相似题推荐
(1)探究:与的数量关系;
(2)求证:;
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)若,,求线段的长.
(1)求的面积.
(2)判断的形状,并说明理由.
(3)点是直线上一点,是直角三角形,求点的坐标.
如图1,在正方形中,点是对角线上一个动点,连接,过点作交于点,分别过点作,,与交于点,连接.
猜想证明:
(1)请你猜想与的数量关系是_______;
(2)四边形是怎样的特殊四边形,并说明理由;
探索发现:
(3)如图2,将题中的正方形改为矩形,其余条件不变,且求的值.
(2)在点运动的过程中,点到距离的最大值为______;
(3)延长交于点,连接,交于点.
①当为等腰三角形时,连结接,求的面积:
②如图②,连接,当点在线段上时,作的角平分线交于点.点的位置随着点的运动而发生改变,则点形成的轨迹路径长为______.
①如图,,,连接,延长交于点E.则和的数量关系是______,和所夹的钝角______;
②如图,点是上任意一点,点在点的左侧,作,,连接,当点运动到的中点时,求的值和的度数;
(2)如图,已知为等腰直角三角形,,,点,分别是线段,的中点,连接,点是线段上任意一点,点在点的左侧,作,,连接,,当取最小值时,直接写出的长.
【推荐3】【项目式学习】
项目主题:守护生命,“数”说安全.
项目背景:随着社会的发展,安全问题变得日益重要.某校为了提高学生的安全意识,开展以“守护生命,'数'说安全”为主题的项目式学习活动.创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节,开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究.
任务一:考察测量
(1)如图1,创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角,道路宽均为,则 ;
任务二:模拟探究
如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触,则可安全通过.
(2)创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道,探究发现:
①当时(如图1),线段能通过直角弯道;
②当时,必然存在线段的中点E与点B重合的情况,线段恰好不能通过直角弯道(如图2).此时,的度数是 ;
③当时,线段不能通过直角弯道.
(3)如图3,创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道,发现当的中点E与点B重合,且时,矩形恰好不能通过该弯道.若,且矩形能通过该直角弯道,求a的最大整数值.
任务三:成果迁移
(4)如图4,某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象,其对称轴交图象于点A.弯道内侧的顶点B在射线上,两边分别与x轴,y轴平行, .创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似.有一辆长为,宽为的汽车需要安全通过该弯道,则b的最大整数值为 .(参考数据:)
构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法,我们常用这种方法证明线段的中点问题.
例如:如图,D是△ABC边AB上一点,E是AC的中点,过点C作CF∥AB,交DE的延长线于点F,则易证E是线段DF的中点.
[经验运用]
请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题.
(1)如图1,在正方形ABCD中,点E在AB上,点F在BC的延长线上,且满足AE=CF,连接EF交AC于点G.
求证:①G是EF的中点;
②CG=BE;
[拓展延伸]
(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=2BC,点E在AB上,点F在BC的延长线上,且满足AE=2CF,连接EF交AC于点G.探究BE和CG之间的数量关系,并说明理由;
(3)如图3,若点E在BA的延长线上,点F在线段BC上,DF交AC于点H,BF=2,CF=1,( 2)中的其它条件不变,请直接写出GH的长.
(1)求直线的函数解析式.
(2)若点从点出发以个单位/秒的速度沿轴向左运动,同时点从点出发以个单位/秒沿轴向右运动,设运动时间为,过点,分别作轴的垂线交直线和直线于点,,猜想四边形的形状(点 , 重合除外),并证明你的结论.
(3)在()的条件下,当点运动多少秒时,四边形是正方形?
(1)轴对称:将正方形纸片折叠,使边都落在对角线上,展开得折痕,连接,如图1,求的大小;
(2)旋转:将图1中的绕点A旋转,使它的两边分别交边于点H、G,连接,如图2,则线段之间存在的数量关系为________,并证明你的结论;
(3)计算:在图2中,连接正方形对角线,若的两边分别交对角线于点M、点N,如图3,若,求正方形的面积.