【推荐2】如图，在中，，，分别过点、点作过点的直线的垂线，垂足为点．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．

【推荐3】如图，在正方形ABCD中，点E是AD边上的一点，AF⊥BE于F，CG⊥BE于G．

(1)若，求∠DCG的度数；
(2)猜想：AF，FG，CG三者之间的数量关系，并证明你的猜想．

【推荐1】如图，直线AB//CD，直线与，分别相交于E，F，点M是线段上任意一点（点M不与点F重合），点N是直线上一动点（点N不与点F重合）

(1)如图①，当点N在射线上运动时，与有什么关系？请说明理由；
(2)如图2，当点N在射线上运动时，（1）中的关系还成立吗？如果不成立，请写出与的关系，并说明理由．

【推荐2】“小头爸爸”为了检查“大头儿子”对平行线的条件与性质这部分知识的掌握情况，给他出了一道题：如图，，，平分，平分，求证．“大头儿子”稍加思索，就做出来了，你知道他是怎样解的吗？请把你的推理过程写下来吧．

【推荐3】如图，，，点、在上，交的平分线于点，，求的度数.

【推荐1】人教版初中数学八年级下册第53页告诉我们直角三角形的一个性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，我们一起来探究这条性质的证明过程：

如图1，在中，，是斜边上的中线． 求证：． 证明：延长至点，使，连结、．

(1)请你根据以上提示，结合图形，写出完整的证明过程．
(2)定理应用：如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，连接BD，点M为BD的中点，CM的延长线交AB于点F，连接EC、EM．
①请直接写出线段CM与EM的数量关系________________；
②若BD是∠ABC的平分线，且∠BAC＝38°，则∠EMB＝________（直接写出结果无需证明）．

【推荐2】如图，将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点落在处，若，，求的度数．

【推荐3】已知．如图中，，，于，于，与相交于点．

(1)求证：；
(2)若，求的长．

【推荐1】已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动（点M与点A、点D不重合）．
（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；
（2）如图2，当a=2，b=5，求点M运动到什么位置时，∠BMC=90°；
（3）如图3，在第（2）问的条件下，若另一动点N从点C出发沿边C→M→B运动，且点M、点N的出发时间与运动速度都相同，过点N作AD和垂线交AD于点H，当△MNH与△MBC相似时，求MH的长．

【推荐3】已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝90°，∠ABD＝90°，AB＝BD，BC＝4，（点A、D分别在直线BC的上下两侧），点G是Rt△ABD的重心，射线BG交边AD于点E，射线BC交边AD于点F．

（1）求证：∠CAF＝∠CBE；
（2）当点F在边BC上，AC＝1时，求BF的长；
（3）若△BGC是以BG为腰的等腰三角形，试求AC的长．