如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线
与
轴交于点
、与
轴交于点
，以及点
，点
是线段
上方抛物线上的一动点，
轴，交线段于点
，连接
，交线段于点
．
(1)求抛物线的表达式，并求直线表达式；
(2)当
时，求点的坐标；
(3)如图（2），点
是此抛物线上的一点，在抛物线上是否存在一点
使得
，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(4)如图（3），点
，点
是此抛物线上第一象限的一点，过作轴的垂线，垂足为
，与
直线交于点
，过作的垂线，垂足为
，求
面积的最大值．
与轴交于点、与轴交于点，以及点，点是线段上方抛物线上的一动点，轴，交线段于点，连接，交线段于点． (1)求抛物线的表达式，并求
直线表达式；(2)当
时，求点的坐标；(3)如图（2），点
是此抛物线上的一点，在抛物线上是否存在一点使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；(4)如图（3），点
，点是此抛物线上第一象限的一点，过作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，过作的垂线，垂足为，求面积的最大值．
更新时间：2023-09-21 09:28:29
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【推荐1】如图1，平面直角坐标系xOy中，A（4，3），反比例函数
的图象分别交矩形ABOC的两边AC，AB于E、F两点（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合．
(1)AE=_______（用含有k的代数式表示）；
(2)如图2，当点D恰好落在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长度；
(3)若折叠后，△ABD是等腰三角形，求此时点D的坐标．
的图象分别交矩形ABOC的两边AC，AB于E、F两点（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合．(1)AE=_______（用含有k的代数式表示）；
(2)如图2，当点D恰好落在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长度；
(3)若折叠后，△ABD是等腰三角形，求此时点D的坐标．
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【推荐2】如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，以点O为顶点的∠EOF的两边分别与边AB、AD交于点E、F，且∠EOF与∠BAD互补．
（1）若四边形ABCD是正方形，则线段OE与OF有何数量关系？请直接写出结论；
（2）若四边形ABCD是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）若AB：AD＝m：n，探索线段OE与OF的数量关系，并证明你的结论．
（1）若四边形ABCD是正方形，则线段OE与OF有何数量关系？请直接写出结论；
（2）若四边形ABCD是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）若AB：AD＝m：n，探索线段OE与OF的数量关系，并证明你的结论．
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：
上的点，过点P的另一条直线
交抛物线
于A、B两点．
，求A、B两点的坐标； 
），当PA＝AB时，请直接写出点A的坐标；
轴于点C，若△AOB的外心在边AB上，且∠BPC＝∠OCP，求点P的坐标．
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【推荐1】已知，点是射线上一动点，以
为边作
，
，
，将射线绕点顺时针旋转
，得到射线
，点在射线上，
．
(1)如图1，若
，求
的长（用含
的式子表示）；
(2)如图2，点
在线段上，连接
、
．添加一个条件：
、、
满足的等量关系为______，使得
成立，补全图形并证明．
是射线上一动点，以为边作，，，将射线绕点顺时针旋转，得到射线，点在射线上，．(1)如图1，若
，求的长（用含的式子表示）；(2)如图2，点
在线段上，连接、．添加一个条件：、、满足的等量关系为______，使得成立，补全图形并证明．
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【推荐2】如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A，B两点，OA＝1，与y轴交于点C，连接AC，tan∠OAC＝3，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
(1)求点A，C的坐标；
(2)若点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求直线PA与y轴交点的坐标；
(3)点Q在抛物线上，且在x轴下方，直线AQ，BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．求证：DM+DN为定值，并求出这个定值．
(1)求点A，C的坐标；
(2)若点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求直线PA与y轴交点的坐标；
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，
，点
在边
，将
绕点
，要求大家观察图形，提出问题并加以解决．
时，求证：四边形
是菱形．
，
时，求
，求
的度数．
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【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点G，H，设点D的横坐标为m．
①求DF＋HF的最大值；
②连接EG，是否存在点D，使△EFG是等腰三角形．若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点G，H，设点D的横坐标为m．
①求DF＋HF的最大值；
②连接EG，是否存在点D，使△EFG是等腰三角形．若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．
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【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线
与轴交于
、
两点，与轴交于点
，连接
、．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点是抛物线上位于直线下方一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作的平行线交轴于点，求
的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，点是抛物线上一点，连接
，当线段的中点恰好在轴上时，探究抛物线上是否存在点
，使
．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
与轴交于、两点，与轴交于点，连接、．(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点
是抛物线上位于直线下方一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；(3)如图2，点
是抛物线上一点，连接，当线段的中点恰好在轴上时，探究抛物线上是否存在点，使．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
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的图象与
，与
，
，
；
交线段
，记
．
关于
时，试比较
和
的大小．
：
经过点
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【推荐1】如图，在平面直角坐标系
中，抛物线与轴相交点和点，与轴相交于点，抛物线的顶点为点，连接、、
、
．
(1)求这条抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)求
的值；
(3)如果点在轴上，
，求点的坐标．
中，抛物线与轴相交点和点，与轴相交于点，抛物线的顶点为点，连接、、、． (1)求这条抛物线的表达式及顶点
的坐标；(2)求
的值；(3)如果点
在轴上，，求点的坐标．
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【推荐2】已知二次函数
与轴交于
，
两点，与轴交于点
．
(2)如图1，连接，，若点在抛物线上，且的横坐标为
，连接
，
与
相等吗？请说明理由；
(3)如图2，点是线段上任意一点
不与
，重合），过点作
轴，交抛物线于点，连接
，作
的外接圆
，延长
交于点．试说明点在某条定直线上．
与轴交于，两点，与轴交于点．
(2)如图1，连接
，，若点在抛物线上，且的横坐标为，连接，与相等吗？请说明理由；(3)如图2，点
是线段上任意一点不与，重合），过点作轴，交抛物线于点，连接，作的外接圆，延长交于点．试说明点在某条定直线上．
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、
两点，与y轴交点C，连接
，顶点为M．
交
的值最大时，求点D的坐标；
，若
，求点G的坐标．
