【推荐1】如下图1，在平面直角坐标系中中，将一个含的直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，若点A的坐标为，．
（1）旋转操作：如下图2，将此直角三角板绕点O顺时针旋转时，则点B的坐标为         ．
（2）问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点O顺时针，如图3，在AB边上的上方以AB为边作等边，问：是否存在这样的点D，使得以点A、B、C、D四点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）动点分析：在图3的基础上，过点O作于点P，如图4，若点F是边OB的中点，点M是射线PF上的一个动点，当为直角三角形时，求OM的长．

【推荐2】四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，DA=DC，连接BD．

(1)如图1，求证：BD平分∠ABC；
(2)如图2，作AEBD交CB的延长于E，作EG⊥DC于G，交BD于F，连接FC，AE=AD=FC，求证：DF=2DG；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接DE交AB于P，作DQ⊥CF于H，交BC于Q，DB=4，BC=5，求AP的长．

【推荐3】将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝2，P是AC上的一个动点．
（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP、BP，求CP、DP的长；
（2）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时平行四边形的面积；
（3）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数（直按写出答案）.

【推荐1】如图，点M，N分别是边长为的等边边上的动点，点M从顶点A沿向点C运动，点N同时从顶点C沿向点B运动，它们的速度都为，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为1秒，连接交于点D.

(1)如图甲，求证：；
(2)如图乙，连接，若，探究与之间的数量关系，并证明；
(3)如图丙，在点M，N运动的过程中，是否存在以点M，N，C为顶点的三角形是直角三角形的情况，若存在，请直接写出对应的运动时间t的值；若不存在，请说明理由.

【推荐2】如图1，中，点是的中点，点是上一点，与的延长线交于点．

（1）填空：____________；
（2）判断并说明和的数量关系；
（3）当时．
①设的度数为，求的度数（用含的式子表示）；
②如图2，如果是的直角三角形，那么和有怎样的数量关系，为什么？

【推荐3】如图1，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点．点是的中点，点是的中点．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，当时，其它条件不变．求证：四边形是矩形；
(3)如图3，若是等边三角形，，其它条件不变，直接写出四边形的面积______．

【推荐1】综合与实践：
问题情境：数学课上，小王和小东两位同学利用三角板操作探究图形．
操作探究1：小王将两块全等的含角的直角三角板按如图①方式在平面内放置，其中两锐角顶点重合于点，．已知长，则点、之间的距离为        ．（写出具体解答过程）
操作探究2：小东将两块全等的含角的直角三角板按如图②方式在平面内放置．其中两个角顶点重合于点，与重合，已知长，请你帮小东同学求出此对点、之间的距离；
操作探究3：随后，小王将图②中的换成了含角的三角板，同样是顶点重合于点，与重合，已知直角边与长均为，他还想求点，之间距离，你能求出此时点，之间的距离吗？

【推荐2】已知在平行四边形中，动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．

(1)如图1，在运动过程中，若平分，求的度数．
(2)如图2，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，，两点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，当运动时间为           秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
(3)如图3，连结并延长与的延长线交于点，平分交于点，当，时，求的长
(4)如图4，在(1)的条件下，连结并延长与的延长线交于点，若，求的面积．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线分别交x轴、y轴于点A、C，过点C的直线交x轴正半轴于点B．

(1)求点B坐标；
(2)点P为线段BC上一点（不与点B、C重合），连接OP，过点O作交AC于点Q，连接PQ，设点P横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，点D为y轴负半轴上一点，连接PA、PD、BD，若，，求直线BD的解析式．

【推荐2】 将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（，0），点B（0，1），点O（0，0）．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN⊥AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′．设OM =m，折叠后的△A′MN与四边形OMNB重叠部分的面积为S．

（Ⅰ）如图1，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；
（Ⅱ）如图2，当点A′落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；
（Ⅲ）当S=时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．

【推荐3】如图，以矩形的顶点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，点是的中点，在上取一点，将沿翻折，使点落在边上的点处．
   
(1)直接写出点、的坐标；
(2)连接交于点，求的面积．
(3)在轴、轴上是否分别存在点、，使得四边形的周长最小？如果存在，求出周长的最小值和直线的函数解析式；如果不存在，请说明理由．