【推荐1】已知：如图，在四边形中，，点是的中点．

(1)求证：是等腰三角形：
(2)若，，取中点，求的长．

【推荐2】如图，在中，，，点在线段上，，平分交于，，垂足为．

(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)若，求的长．

【推荐3】如图，在中，，以为直径的交于点D，过D作，垂足为E，的延长线交的延长线于点F．

(1)求证：直线是的切线；
(2)若，求长．

【推荐1】如图，已知AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切于A点，点C是⊙O上的一点，且PC=PA．

（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠BAC=45°，AB=4，求PC的长．

【推荐2】（1）【问题呈现】在数学活动课上，王老师为每位学生提供了几张长方形纸片和平行四边形纸片，王老师问了小明一个问题：如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点E、F．求证：四边形是菱形．
请你帮小明写出证明过程．
（2）【类比应用】如图2，王老师要求小明将矩形纸片沿直线翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，直线分别交矩形的边、于点E、F，若，求折痕的长．
（3）【拓展延伸】如图3，王老师要求小明将平行四边形沿直线翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，直线分别交平行四边形的边、于点E、F，若，，求四边形的面积．

【推荐1】已知：如图，四边形ABCD是的内接四边形，直径DG交边AB于点E，AB、DC的延长线相交于点连接AC，若．

求证：；
若，，求半径．

【推荐2】如图，AB是的直径，CD是的一条弦，且于点E．

（1）若，求的度数；
（2）若，，求的半径．

【推荐3】如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．求所在⊙O的半径DO．