综合与实践
【项目学习】
配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．
例1：把代数式
进行配方．
解：原式
．
例2：求代数式
的最大值．
解：原式
．
，
，
，
的最大值为
．
【问题解决】
(1)若
满足
，求
的值．
(2)若等腰
的三边长
均为整数，且满足
，求的周长．
(3)如图，这是美国总统加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中是
和
的三边长，根据勾股定理可得
，我们把关于
的一元二次方程
称为“勾系一元二次方程”．已知实数
满足等式
，且
的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根．四边形
的周长为
，试求的面积．
【项目学习】
配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．
例1：把代数式
进行配方．解：原式
．例2：求代数式
的最大值．解：原式
．，，，的最大值为．【问题解决】
(1)若
满足，求的值．(2)若等腰
的三边长均为整数，且满足，求的周长．(3)如图，这是美国总统加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中
是和的三边长，根据勾股定理可得，我们把关于的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．已知实数满足等式，且的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根．四边形的周长为，试求的面积．
更新时间：2023-09-28 08:44:16
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，求证：
．
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【推荐2】已知二次函数
（
为实数），记顶点为
．
(1)直接写出点坐标（用的代数式表示）；
(2)记该函数图像与
轴交于点
，直线
与轴所夹的角为
，当
时，求的值；
(3)若该二次函数的图像经过点
、
，记
，当
时，试探究
的取值范围．
（为实数），记顶点为．(1)直接写出
点坐标（用的代数式表示）；(2)记该函数图像与
轴交于点，直线与轴所夹的角为，当时，求的值；(3)若该二次函数的图像经过点
、，记，当时，试探究的取值范围．
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【推荐1】在学习《完全平方公式》时，某数学学习小组发现：已知
，
，可以在不求
、
的值的情况下，求出
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．
(1)若
，则
______；
(2)若
满足
，求
的值，同样可以应用上述方法解决问题．具体操作如下：
解：设
，
，
则
，
，
所以
．
请参照上述方法解决下列问题：若
，求
的值；
(3)如图，某校“园艺”社团在三面靠墙的空地上，用长12米的篱笆（不含墙
）围成一个长方形花圃ABCD，花圃ABCD的面积为20平方米，其中墙AD足够长，墙
墙AD，墙
墙AD，
米．随着学校“园艺”社团成员的增加，学校在花圃
旁分别以
边向外各扩建两个正方形花圃，以
边向外扩建一个正方形花圃（如图所示虚线区域部分），请问新扩建花圃的总面积为______平方米．
，，可以在不求、的值的情况下，求出的值．具体做法如下：．(1)若
，则______；(2)若
满足，求的值，同样可以应用上述方法解决问题．具体操作如下：解：设
，，则
，，所以
．请参照上述方法解决下列问题：若
，求的值；(3)如图，某校“园艺”社团在三面靠墙的空地上，用长12米的篱笆（不含墙
）围成一个长方形花圃ABCD，花圃ABCD的面积为20平方米，其中墙AD足够长，墙墙AD，墙墙AD，米．随着学校“园艺”社团成员的增加，学校在花圃旁分别以边向外各扩建两个正方形花圃，以边向外扩建一个正方形花圃（如图所示虚线区域部分），请问新扩建花圃的总面积为______平方米．
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【推荐2】计算下列各式：
(1) 2022＋202×196＋982
(2) (3x－y)2－(3x＋2y)(3x－2y)
(1) 2022＋202×196＋982
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【推荐1】已知抛物线
.
(1)如图1，当
时，抛物线分别交轴于
两点（点
在点
的左侧），交轴于点
.
①求出直线
的解析式；
②点
在直线上方的抛物线上，作
轴，交线段于点
，作
轴，交抛物线于另一点
，若
，求点的横坐标；
(2)如图2，若抛物线与轴有唯一公共点
，直线
与抛物线交于
两点（点
在点
的左边），直线
轴，交直线
于点，且点的纵坐标为4，求证：直线
过定点.
.(1)如图1，当
时，抛物线分别交轴于两点（点在点的左侧），交轴于点.①求出直线
的解析式；②点
在直线上方的抛物线上，作轴，交线段于点，作轴，交抛物线于另一点，若，求点的横坐标；(2)如图2，若抛物线与
轴有唯一公共点，直线与抛物线交于两点（点在点的左边），直线轴，交直线于点，且点的纵坐标为4，求证：直线过定点.
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【推荐2】阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当
，
时，∵
，∴
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时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
(1)当
时，则
的最小值为______；
(2)）若
，求y的最小值．
(3)如图，四边形的对角线
相交于点O，
、
的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值．
，时，∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题：(1)当
时，则的最小值为______；(2)）若
，求y的最小值．(3)如图，四边形
的对角线相交于点O，、的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值．
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【推荐1】【初步感知】
(1)已知，在中，
，如图1，将边，
同时绕着点分别按逆时针、顺时针方向旋转
，得
、
，连接
，
，求证：
；
【类比探究】
(2)如图2，在，，若
，
，将边绕着点A逆时针旋转
，得，连接，求的长．
【拓展应用】
(3)如图3，在平面直角坐标系
中，点为第二象限内一点，且
，点坐标为
，若将边
绕点逆时针旋转
得，点恰好在轴上，将边绕点顺时针旋转得，求点坐标．
(1)已知，在
中，，如图1，将边，同时绕着点分别按逆时针、顺时针方向旋转，得、，连接，，求证：；【类比探究】
(2)如图2，在
，，若，，将边绕着点A逆时针旋转，得，连接，求的长．【拓展应用】
(3)如图3，在平面直角坐标系
中，点为第二象限内一点，且，点坐标为，若将边绕点逆时针旋转得，点恰好在轴上，将边绕点顺时针旋转得，求点坐标．
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名校
【推荐2】如图，在中，
，
，点在直线上，点在直线上，连接
、
，且
，直线交于点．
(1)如图1，当点在线段上时，
，
，求BE的长；
(2)如图2，当点是的中点时，求证：
；
(3)如图3，连接
，将
沿着翻折，得到
，点是上一点，且
，当
最短时，请直接写出
的值．
中，，，点在直线上，点在直线上，连接、，且，直线交于点．(1)如图1，当点
在线段上时，，，求BE的长；(2)如图2，当点
是的中点时，求证：；(3)如图3，连接
，将沿着翻折，得到，点是上一点，且，当最短时，请直接写出的值．
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与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
的面积为
，求点Q的坐标；
，如图2，若
，直接写出P的坐标．
