【推荐1】已知∠MON＝60°，射线OT是∠MON的平分线，点P是射线OT上的一个动点，射线PB交射线ON于点B．
（1）如图，若射线PB绕点P顺时针旋转120°后与射线OM交于点A，求证：PA＝PB；
（2）在（1）的条件下，若点C是AB与OP的交点，且满足，求△POB与△PBC的面积之比；
（3）当OB＝2时，射线PB绕点P顺时针旋转120°后与直线OM交于点A（点A不与点O重合），直线PA交射线ON于点D，且满足∠PBD＝∠ABO，求OP的长．

【推荐2】正方形中，点O是对角线的中点，点P是所在直线上的一个动点，于E，于F．
   
(1)当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并说明理由；
(2)当点P在线段上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)当点P在线段的延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出相应的结论．

【推荐3】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A（2，2）．
（Ⅰ）若点B（4，2），C（3，5），请判断△ABC的形状，并说明理由；
（Ⅱ）已知点M（m，0），N（0，n）（n＜0），若∠MAN＝90°，且mn＝﹣，求m²+n²的值．

【推荐1】如图，已知△ABC和△CDE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，

(1)求证：BD=AE，并求出∠DOE的度数；
(2)判断△CFG的形状并说明理由；
(3)求证：OA+OC=OB．

【推荐1】如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
(2)性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．AB²，CD²，AD²，BC²的关系是________．
(3)解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．（可直接利用（2）中的结论）

【推荐2】问题探究：
（1）请你在图①中作一条直线，使它将矩形分成面积相等的两部分：
（2）如图②，M是正方形内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形的面积四等分，并说明理由．
问题解决：
（3）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中，开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点处．为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且使这条路所在的直线l将直角梯形分成面积相等的两部分，你认为直线l是否存在？若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由．

【推荐3】问题引入：
（1）如图1，，，，E是线段的中点，连接并延长交于点F，连接．则与之间的数量关系是______；
问题延伸：
（2）如图2，在正方形和正方形中，点A、B、E在同一条直线上，点G在上，P是线段的中点，连接、．
①判断与之间的数量关系，并说明理由；
②连接，若，，求的长．

【推荐1】如图，是的直径，弦于点，已知，，点为上任意一点，（点不与、重合），连结并延长与交于点，连结、、．
   
(1)求的长．
(2)若，直接写出的长．
(3)①若点在，之间（点不与点重合），求证：．
②若点在，之间（点不与点重合），求与满足的关系．