【推荐2】如图，为的内接三角形，，连接．

(1)求证：；
(2)延长交于，过点作于点，交于点，求证：；
(3)在(2)的条件下，连接并延长交于，连接，若，求线段的长．

【推荐3】已知正方形与正方形，正方形绕点旋转一周．

(1)如图1，连接，很明显______，从而我们可以得出的值为______；
(2)如图2，连接，求的值；
(3)当正方形旋转至图3位置时，连接，分别取的中点，连接，试探究：与的关系，并说明理由；
(4)连接，分别取的中点，连接，，请直接写出线段扫过的面积．

【推荐1】已知两个等腰有公共顶点C，，连接是的中点，连接．

(1)如图1，当与在同一直线上时，求证：；
(2)如图2，当时，求证：．

【推荐2】已知，四边形是正方形，点F是边、上一动点，，且，M为的中点．
(1)当点F在边上时（如图①）．
①求证：点E在直线上；
②若，并满足．求a，b的值及的长；
(2)当点F在上时（如图②），求的值．
      

【推荐3】（1）【探究发现】如图①，等腰，，为的中点，，的两边分别与线段、线段交于点（点与点不重合），请写出线段之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）【类比应用】如图②，等腰，，为的中点，，的两边分别与线段、线段交于点（点与点不重合）．直接写出线段之间的数量关系为______；

（3）【拓展延伸】如图③，在四边形中，平分，，，过点作，交的延长线于点，若，，求的长．

【推荐1】（1）如图，在线段上取一点C，分别以、为边在同一侧作等边与等边，连接、，则经过怎样的变换（平移、轴对称、旋转）能得到？请写出具体的变换过程；（不必写理由）

（2）如图，在线段上取一点C（），如果以、为边在同一侧作正方形与正方形，连接，取的中点M，设的延长线交于N，连接；请探究与的关系，并加以证明；

（3）在第二题图的基础上，将正方形绕点C顺时针旋转（如图），使得A、C、E在同一条直线上，请你继续探究线段、的关系，并加以证明．

【推荐1】已知抛物线经过、两点，与轴交于点．

(1)求抛物线及直线的解析式；
(2)如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，连接交线段于点，当的值最大时，求点的坐标及最大值；
(3)如图2，将直线绕点顺时针旋转45°，与直线交于点，与抛物线交于第四象限内一点，求点的坐标．

【推荐2】综合与探究：
【问题背景】如图1，点E，F分别在正方形的边，上，，连接．求，，之间的数量关系．
【迁移应用】如图2，四边形中，，，点E，F分别在边，上，，若，都不是直角，且，求证：．
【联系拓展】如图3，在中，，，点D，E均在边上，且．猜想，，应满足的等量关系是________．
             

【推荐3】对于平面直角坐标系中的一点和，给出如下的定义：若上存在一个点，连接PA，将射线PA绕点P顺时针旋转90°得到射线PM，若射线PM与相交于点B，则称为的直角点．
（1）当的半径为时，
①在点、、中，的直角点是 ．
②已知直线：，若直线上存在的直角点，求的取值范围．
（2）若，的半径为，直线 上存在的直角点，直接写出的取值范围．