【推荐1】如图所示，已知线段，，求作等腰三角形，使腰长为，底上的高为（，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

【推荐2】（1）如图1，在锐角的外部找一点，使的面积与的面积相等且点在以为直径的圆上，请用尺规作图的方法确定点的位置（不写作法，保留作图痕迹）；

   

（2）在（）中，如图，若，且，求以为直径的圆覆盖的面积             ．

   

【推荐3】（2019•房山区二模）阅读下面材料：小明遇到一个问题：如图，，点在射线上，点在内部，用直尺和圆规作点，使点同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）；
．点到，两点的距离相等；
．点到的两边的距离相等．
小明的作法是：
①连接，作线段的垂直平分线交于，交于；
②作的平分线交于点．
所以点即为所求．
根据小明的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；
（2）证明：垂直平分线段，点在直线上，
　　．
平分，
点到的两边的距离相等　　          （填推理的依据）．所以点即为所求．

【推荐1】如图，AB是的直径，点C、点D在上，，AD与BC相交于点E，点F在BC的延长线上，且．

(1)求证：AF是的切线；
(2)若，，求的半径．

【推荐2】如图，是的直径，内接于，平分交于点D，交于点E，延长至F，使．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．

【推荐3】如图，在中，，点D是的中点，以为直径作，与交于点E，过点E作的切线，交于点F．
   
(1)求证：；
(2)若的半径是，，求的长．

【推荐1】已知网格的小正方形的边长均为1，格点三角形ABC如图所示，请仅使用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角，画出满足条件的图形（保留作图痕迹）

（1）在图甲AB边上取点D，使得△BCD的面积是△ABC的；
（2）在图乙中，画出△ABC所在外接圆的圆心位置．

【推荐2】如图，在的方格中，的顶点都在格点处．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图．
   
(1)在图（1）中，过点作出的外接圆的一条直径；
(2)在图（2）中，在的右侧格点处找一点，使．

【推荐3】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点在格点上．

(1)画出过三点的圆的圆心；
(2)求的长．

【推荐1】如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于点E，交BA的延长线于点F．

(1)求证：△APD≌△CPD；
(2)求证：△APE∽△FPA；
(3)若PE＝4，PF＝12，求PC的长．

【推荐2】在△ABC中，P为边AB上一点．
（1）如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC²＝AP·AB；
（2）若M为CP的中点，AC＝2，
① 如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；
② 如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长．

【推荐3】如图，抛物线y＝ax²+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．