【推荐1】如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连AF 取AF的中点M，EF的中点N，连接MD、MN．

(1)请判断MD与MN之间的数量关系，直接写出结论；
(2)将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°得到图2，其他条件不变，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
(3)连接DN，若AB＝3，CE＝2，将图1中的直角三角板ECF绕点C在平面内自由旋转，其他条件不变，请直接写出△DMN面积的最大值和最小值．

【推荐2】如图，点是反比例函数(＞)图象上的一点. 过点分别作轴、轴的平行线，分别与轴、轴交于点，，与经过点(，)的双曲线．(，＞)交于点，，连接．
（1）求的值；
（2）连接，．若点的横坐标为，求△的面积；
（3）若直线分别与轴，轴交于点，，求证：．

【推荐3】如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE．

(1)求证：△ABE≌△ADE；
(2)求证：EB²＝EF•EG；
(3)若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，AE：EC＝1：3，求BG的长．

【推荐1】如图，在△ABC中，点P是BC边上的动点，点M是AP的中点，PD⊥AB，垂足为D，PE⊥AC，垂足为E，连接MD，ME．
（Ⅰ）求证：∠DME＝2∠BAC；
（Ⅱ）若∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝6，连接DE，求△MDE周长的最小值．

【推荐2】如图一，在射线的一侧以为一条边作矩形，，，点是线段上一动点（不与点重合），连接，过点作的垂线交射线于点，连接．

(1)求的大小；
(2)问题探究：
动点M在运动的过程中，是否能使为等腰三角形，如果能，求出线段的长度；如果不能，请说明理由．
(3)问题解决：
如图二，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度．

【推荐3】如图1，已知锐角△ABC中，CD．BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．

（1）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并写出推理过程；
（2）求证：MN⊥DE；
（3）若将锐角△ABC变为钝角△ABC，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，请说明理由．

【推荐2】对于平面直角坐标系：内任意一点P．过P点作轴于点M，轴于点N，连接，则称的长度为点P的垂点距离，记为h．特别地，点P与原点重合时，垂点距离为0．

(1)点，，的垂点距离分别为 　 　， 　 　，　 　 　．
(2)点P在以为圆心，半径为3的上运动；求点P的垂点距离h的取值范围．
(3)点T为直线l：位于第二象限内的一点，对于点T的垂点距离h的每个值有且仅有一个点T与之对应，求点T的横坐标t的取值范围．

【推荐3】如图，在中，，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点C运动．同时，点Q也从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动．当点P到达点C时，P、Q两点同时停止运动．以为对角线作矩形，．设矩形和重叠部分的面积为，点P运动的时间为t秒．

(1)线段的长为______（用含t的代数式表示）；
(2)当点N落在上时，求t的值；
(3)当点N在内部时，求S与t之间的函数关系式；
(4)连接，当线段将矩形分成两部分面积比时，直接写出t的值．

【推荐1】如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点B旋转一周，连接、、．

(1)请判断线段和的数量关系，并说明理由；
(2)当A、E、F三点在同一直线上时，求的长；
(3)设的中点为M，连接，试求线段长的取值范围．

【推荐2】【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，，小明想从中剪出一个以为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线剪下时，矩形的面积最大，经证明发现：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为__________．

【拓展应用】
如图②，在中，，边上的高，矩形的顶点分别在边上，顶点在边上，则矩形面积的最大值为__________．（用含的代数式表示）
【灵活应用】
如图③，有一块“缺角矩形”，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
【实际应用】
如图④，现有一块四边形的木板余料，经测量，且，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点在边上且面积最大的矩形，求该矩形的面积．

【推荐3】已知二次函数y＝ax²＋bx－2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(4，0)，且当x＝－2和x＝5时二次函数的函数值y相等．

(1)求实数a，b的值；
(2)如图①，动点E，F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F以每秒个单位长度的速度沿射线AC方向运动．当点E停止运动时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF.
①是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．