【推荐2】在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点和，我们重新定义这两点的“距离”．
①当时，为点与点的“远距离”，即；
当时，为点与点的“远距离”，即．
②点与点的“总距离”为与的和，即．
   
根据以上材料，解决下列问题：
(1)已知点，则______；______．
(2)若点在第一象限，且．求点B的坐标．
(3)①若点，且，所有满足条件的点C组成了图形W，请在坐标系中画出图形W；
②已知点，，若在线段上总存在点E落在①的图形W上，请直接写出m的取值范围．

【推荐3】在平面直角坐标系中，点，，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E．
（1）如图，若点C的坐标为（3，0），试求点E的坐标；
（2）如图，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变，连接DO，求证：OD平分
（3）若点C在x轴正半轴上运动，当时，试探索线段AD、OC、DC的数量关系，并证明．

【推荐1】定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
(1)阅读与理解：
如图1，四边形内接于⊙O，点A为弧BD的中点．四边形ABCD         （填“是”或“不是”）等补四边形．

(2)探究与运用：
①如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由；

②如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，若CD＝10，AF＝5，求DF的长．

(3)思考与延伸：
在等补四边形ABCD中，AB＝AD＝3，∠BAD＝120°，当对角线AC长度最大时，以AC为斜边作等腰直角三角形ACP，直接写出线段DP的长度．

【推荐2】在中，，点在边上，，点在边上，连接，满足，连接，过点作于点．

(1)如图1，已知，，且，求线段的长；
(2)如图2，已知，求证：；
(3)如图3，若，，折叠，使恰好与重合，折痕与交于点G，直接写出的值．

【推荐3】如图，在平而直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点，顶点为．连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．点分别在线段上，连接与交于点．

(1)求点，的坐标；
(2)随着点在线段上运动．
①的大小是否发生变化？请说明理由；
②线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，在四边形 ABCD 中，AB=2，∠A=∠C=60°． DB⊥AB 于点 B，∠DBC=45°，求 BC 的长．

【推荐2】折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．已知在正方形纸片中，是边上的点（不与点重合），正方形的边长为9．
   
【操作发现】
（1）如图1，是边上一点，是边上一点．以直线为对称轴把正方形折叠，的对应线段为，其中点在边上，交边于点，连接，则线段与的关系为 　；
【实践探究】
（2）如图1，当时，求折痕的长；
（3）如图2，连接，交于点，连接，则与的数量关系是 ．

【推荐3】如图1，在边长为1的正方形中，E、F是边上的两个动点，且满足，连接、、，与交于点G，连接交于点H，连接．

(1)求证：．
(2)求线段的最小值．
(3)如图2，若E、F重合时，延长交于M，与交于点N，求的值．

【推荐1】如图，正方形中，点P在边上(不与端点B，C重合)，点B关于直线的对称点为点E，

(1)如图1，连接，则_________°；
(2)如图2，若，点P是的中点，连接，求的长；
(3)如图3，过点D作，交直线于点F，连接，若，求的值．

【推荐2】若正方形有两个相邻顶点在三角形的同一条边上，其余两个顶点分别在三角形的另两条边上，则正方形称为三角形该边上的内接正方形，△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，各边上的高分别记为，，，各边上的内接正方形的边长分别记为，，．

(1)模拟探究：如图，正方形EFGH为△ABC的BC边上的内接正方形，求证：；
(2)特殊应用：若∠BAC=90°，==2，求的值；
(3)拓展延伸：若△ABC为锐角三角形，b＜c，请判断与的大小，并说明理由．

【推荐3】如图，在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG（BE＜AB），连接EG并延长交DC于点M，作MN⊥AB，垂足为N，MN交BD于点P，设正方形ABCD的边长为1．
（1）证明：四边形MPBG是平行四边形；
（2）设BE=x，四边形MNBG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）如果按题设作出的四边形BGMP是菱形，求BE的长．