【推荐1】如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D，

(1)求证：DP=DQ；
(2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长．

【推荐2】如图，已知Rt△ABC中，，，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），点C在DE上，点B在DF上．

(1)如图，将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转30°，DE交BC于点M，DF交AB于点N．

求证：；
(2)如图，将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转α度（），DE交BC于点M．DF交AB于点N，则的结论仍成立吗？重叠部分的面积会变吗？（请直接写出结论，不需要说明理由）

【推荐3】如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，弧AD上存在点E，满足弧AE＝弧CD，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G

(1)若∠DBC＝，请用含的代数式表示∠AGB；
(2)如图2，连接CE，CE＝BG，求证：EF＝DG；

【推荐1】小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的长．

小明发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF，联结EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．
(1)请回答：在图2中，∠FCE的度数是          ，DE的长为           ．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
(2)如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．

【推荐2】如图，E、F在正方形的边上，．
（1）是由旋转而来，旋转中心是什么？旋转角是多少度？
（2）求证：；
（3）若，求正方形的面积．

【推荐3】如图，在中，，，将一块等腰直角三角形的直角顶点放在斜边的中点处，将三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交射线、于、两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况．
（1）观察图①，当三角板绕点旋转到时，我们发现：__________．（选填“”、“”或“”）
（2）当三角板绕点旋转到图②所示位置时，判断（1）题中与之间的大小关系还存在吗？请你结合图②说明理由．
（3）三角板绕点旋转，是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（写出为等腰三角形时的长）；若不能，请说明理由．