【推荐1】在中，是边上的高，，，，点M在上，且，动点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动，连接，作点A关于直线的对称点，设点P的运动时间为t秒．
   
(1)用含t的代数式表示线段的长．
(2)当点在内部时，求t的取值范围．
(3)连接，当时，求的面积．
(4)当时，直接写出t的值．

【推荐2】（1）如图1，将直角的顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上，使角的一边交CD于点F，另一边交CB或其延长线于点G，求证：EF=EG；
（2）如图2，将（1）中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，其他条件不变．若AB=m，BC=n，试求的值；
（3）如图3，将直角顶点E放在矩形ABCD的对角线交点，EF、EG分别交CD与CB于点F、G，且EC平分∠FEG．若AB=2，BC=4，求EG、EF的长．

考点：四边形综合题．

【推荐3】已知如图，抛物线y＝－x²＋2x＋与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点E．
（1）如图①，连接BD，试求出直线BD的解析式；
（2）如图②，点P为抛物线第一象限上一动点，连接BP，CP，AC，当四边形PBAC的面积最大时，线段CP交BD于点F，求此时DF∶BF的值；
（3）如图③，已知点K(0，－2)，连接BK，将△BOK沿着y轴上下平移(包括△BOK)，在平移的过程中直线BK交x轴于点M，交y轴于点N，则在抛物线的对称轴上是否存在点G，使得△GMN是以MN为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】（1）如图1，在和中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．
求：①的值；
②∠AMB的度数．
（2）如图2，在和中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，将点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=2，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

【推荐1】如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G．
   
（1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由；
（2）若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段BC的长．

【推荐2】如图，在中，，，，D为边AB的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点B运动．当点P不与点C重合时，连结PD，以CP，PD为边作，设点P的运动时间为t秒．

(1)C、D两点之间的距离为________；
(2)当为矩形时，求t的值
(3)当点P在边AC上运动时，
①求点P到CD的距离为________；（用含t的代数式表示）
②设的对角线的交点为O，点D关于对角线PE的对称点为，连结，当平行Rt△ABC一边时，直接写出t的值．

【推荐3】如图，在中，，，点在边上（不与点，重合），连接，点为线段的中点，过点作于点，连接，，．

(1)如图1，若，试判断是____________．
(2)在（1）的条件下，若将图1中绕点A顺时针旋转一定的角度（旋转角小于），使得，，三点共线，点为线段的中点，如图2所示．求证：．
(3)若，，点在边上（不与点A，重合），，将线段绕点旋转，点始终为的中点，则线段长度的最大值是多少？

【推荐2】（1）阅读理解：如图1，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的大小．

思路点拨：考虑到不在一个三角形中，采用转化与化归的数学思想，可以将绕顶点A逆时针旋转60°到处，此时，这样，就可以利用全等三角形知识，结合已知条件，将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出________
（2）变式拓展：请你利用第（1）问的解答思想方法，解答下面问题：
如图2，在中，，E、F为BC上的点且，求EF的大小．
（3）能力提升：如图3，在中，，点O为内一点，连接，且，请直接写出_______．

【推荐3】如图，O为直线上一点，将一副直角三角尺（分别含和的角）按图中方式放在点O处，使．将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针旋转，旋转后停止设运动时间为t秒．

(1)当时，__________；
(2)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．
①在线段与第一次相遇前，t为何值时，平分；
②在旋转过程中，是否存在某一时刻使．若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．