【推荐1】十九世纪英国赫赫有名的谜题创作者在1903年的英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题．问题是：如图1，在一个长、宽、高分别为的长方体房间内，一只蚂蚁在右面墙的高度一半位置（即M点处），并且距离前面墙，苍蝇正好在左面墙高度一半的位置（即N点处），并且距离后面墙，蚂蚁爬到苍蝇处应该怎样爬行所走路程最短，最短路程是多少m？这只蚂蚁在长方体表面爬行的问题，引起了当时很多数学爱好者的研究与讨论，今天我们也一起来研究一下这个当时非常热门的数学问题！

【基础研究】如图2，在长、宽、高分别为a，b，c的长方体一个顶点A处有一只蚂蚁，欲从长方体表面爬行去另一个顶点处吃食物，探究哪种爬行路径是最短的？
(1)观察发现：蚂蚁从A点出发，为了走出最短路线，根据两点之间线段最短的知识，并结合展开与折叠原理，一共有3种不同的爬行路线，即图3、图4、图5所示.

填空：图5是由______面与______面展开得到的平面图形；（填“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”）
(2)推理验证：如图3，由勾股定理得，，
如图4，由勾股定理得，，
如图5，．
要使得的值最小，
∵
……（请补全推理过程）
∴
∴选择如图______情况，此时的值最小，则的值最小，即这种爬行路径是最短的．
(3)【简单应用】如图6，长方体的长，宽，高分别为，点P是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点P，则爬行的最短路程长为______cm．

(4)【问题回归】
最后让我们再回到那道十九世纪英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题（如图1），那只蚂蚁所走的最短路程是______m．

【推荐2】在等腰中，，，为边上一点，连接．

(1)如图所示，，且平分，若，，则            ．
(2)如图所示，过点作于点，，点在上，且，连接，则当取最小值时，求的长；
(3)如图所示，以为斜边作等腰，连接并延长交于点，若，，猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想．

【推荐3】（1）如图在内部有一点，是正三角形，连接、、，将线段绕顺时针反向旋转至，
①求证：；
②调整P点的位置，使最小，求此时和的大小.
（2）如图在直角三角形中，，，在其内部任取一点，求的最小值.
   

【推荐1】（1）【母题呈现】如图1，是的中位线，以为斜边作，，求证：．
（2）【母题变式】如图2，是的中位线，分别以为斜边作和，，作交的延长线于点H，与交于点O．
①求证：；②求的度数．
（3）【拓展应用】如图3，在中，分别以为斜边作和，，点P是线段上一点，且，连接，请写出与之间的一个等量关系，并证明．

【推荐3】（1）如图1，分别以的边为腰往外部作等腰三角形，使，且，连接，找出图中的全等三角形，并说明理由；
（2）如图2，中，，分别以的边为腰往外部作等腰直角三角形，使，且，连接，求的长；
（3）如图3，，是的垂直平分线上一点，，则______．