【推荐1】如图，在和中，，，．
求证：．

【推荐2】如图所示，已知在中，，为中点．点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动，、两点同时出发．
（1）设运动时间为，则的距离可表示为         ；的距离可表为         ．
（2）在点、的运动过程中，存在某一时刻，使得吗？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
（3）若点、均以原来的速度按逆时针方向沿的三边循环运动，经过多长时间点与点第一次相遇？此时它们在哪条边上？

【推荐3】在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，连接．

(1)求证：
(2)当四边形的周长取最小值时，求的长．
(3)若，当点D在射线上移动，则和之间有怎样的数量关系？并说明理由．

【推荐1】图1、图2是两张形状大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在小正方形的顶点上，请仅用无刻度的直尺在网格内完成下列作图：

(1)如图1，请以线段为斜边作等腰直角；
(2)如图2，请以线段为底边作等腰，且使得腰长为有理数；

【推荐2】已知：如图，中，是腰的垂直平分线，求：的度数.

【推荐3】如图，在中，，，，若动点P从点A出发，沿着三角形的三边，先运动到点C，再运动到点B，最后运动回到点A，，设点P的运动时间为ts．

(1)当t为何值时，点P恰好在AB的垂直平分线上？
(2)当t为何值时，点P在BC上，且恰好在的角平分线上？

【推荐1】以点A为顶点作两个等腰直角三角形（，），

(1)如图1所示放置，使得一直角边重合，延长，交于点F，试说明．
(2)如图2所示放置，连接与相交于点F，
①与的大小有什么关系，请说明理由．
②与的位置有什么关系，请说明理由．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，设一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．

(1)求，的值；
(2)求点，点的坐标；
(3)在轴上是否存在点使为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点O为坐标原点，，边在x轴的正半轴上，边在y轴的正半轴上，点A的坐标为，且，动点C从点B出发沿着射线的方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，动点D从点A出发沿着射线的方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，已知点C和点D同时出发，设它们的运动时间为t秒（）．

（1）请直接写出线段的长__________和点B的坐标__________；
（2）当时，连结，求点C的坐标和的长：
（3）当为等腰三角形时，请直接写出t的值．

【推荐1】如图所示，线段的两端点 E，F分别是正方形的边，的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图(保留作图痕迹， 不写作法)
   
(1)在图（1）中，以为较长对角线画菱形；
(2)在图（2）中，以为较长对角线画菱形．

【推荐2】如图所示，网格线交点为格点，，请用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．

(1)在图1中作的中线；
(2)如图1，在上取点E，使；
(3)在图2中作的角平分线；
(4)如图2，作格点G，使．

【推荐3】如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺，在给定网格中完成下列画图：

(1)在图1中的内部画一点，使得；
(2)在图2中，是边的中点，连接，在线段上画一点，使得；
(3)在图3中边的延长线上画一点，使得．