【推荐1】【定义】三角形的三边长分别记作，，，如果，那么就称该三角形为“准勾股三角形”．

【应用】
(1)求证：等边三角形不是“准勾股三角形”；
(2)若“准勾股三角形”是直角三角形，且，求的值；
(3)如图，在中，是边的垂直平分线，延长至点，使得，连接．求证：为“准勾股三角形”．

【推荐2】综合与实践
问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎范、芯组成的（如图1），它的端面是圆形，如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到，在圆上标记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A，B点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点O，即O为圆心．

(1)问题解决：请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O．如图3，点A，B，C在上，，且，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)类比迁移：小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点A，B，C在上，，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
(3)拓展探究：小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A，B，C是上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由：______________________________．

【推荐3】阅读与思考
下面是小安同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．

×年×月×日   星期一 从圆周角定理想到的…… 今天，我们学习了圆周角定理及推论，在课堂小结的时候，我突然想到将这些定理的条件和结论互换，也许会有新发现！那就先从特殊情况开始思考吧． 思考一：如图1，是的直径，点在上（不与点重合），则．这一命题我们已经证明过．若将该命题的条件和结论互换，可得新命题：如图2，已知线段和直线外一点，且，则点在以为直径的圆上．（命题1） 思考二：若将图2中的改为45°，点的位置会有怎样的特点呢？ 经过不断尝试，我发现以为底边，构造等腰，再以点为圆心，长为半径作圆，则点在弦所对的优弧上． ……

任务：
（1）小安发现命题1是真命题，请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分．
证明：在图2中取线段的中点，连接，则是边上的中线．
……
（2）请根据思考二，在图3中利用尺规作出符合要求的点．（保留作图痕迹，不写作法）

（3）若将图2中的改为120°，你能确定点的位置吗？请说明你的思路．