阅读与思考
下面是小安同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
（1）小安发现命题1是真命题，请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分．
证明：在图2中取线段
的中点
，连接
，则是边上的中线．
……
（2）请根据思考二，在图3中利用尺规作出符合要求的点
．（保留作图痕迹，不写作法）
（3）若将图2中的
改为120°，你能确定点的位置吗？请说明你的思路．
下面是小安同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
| ×年×月×日 星期一 从圆周角定理想到的…… 今天，我们学习了圆周角定理及推论，在课堂小结的时候，我突然想到将这些定理的条件和结论互换，也许会有新发现！那就先从特殊情况开始思考吧． 思考一：如图1， 是 的直径，点在上（不与点 重合），则 ．这一命题我们已经证明过．若将该命题的条件和结论互换，可得新命题：如图2，已知线段和直线外一点，且，则点在以为直径的圆上．（命题1） 思考二：若将图2中的 改为45°，点的位置会有怎样的特点呢？经过不断尝试，我发现以 为底边，构造等腰 ，再以点 为圆心， 长为半径作圆，则点在弦所对的优弧上．…… |
（1）小安发现命题1是真命题，请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分．
证明：在图2中取线段
的中点，连接，则是边上的中线．……
（2）请根据思考二，在图3中利用尺规作出符合要求的点
．（保留作图痕迹，不写作法）（3）若将图2中的
改为120°，你能确定点的位置吗？请说明你的思路．
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更新时间：2021-04-29 20:25:45
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【推荐1】如图，在
中，
，
是
的中点，
是
上的点，过点
作
交
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，若四边形
是菱形，求证：
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中，，是的中点，是上的点，过点作交的延长线于点，若四边形是菱形，求证：．
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【推荐2】如图，
是
的两条高，P是边的中点，连接
．
(1)求证：
；
(2)若
，求
的度数．
是的两条高，P是边的中点，连接．(1)求证：
；(2)若
，求的度数．
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，求EC的长．
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【推荐1】如图，某数学兴趣小组通过“画板”探究一个图形，，为
两边上的动点，分别作
和
的平分线交于点
，作
和
的平分线交于点
．经小组成员交流后，证明了点，，，在同一个圆上．
在进一步探究时，动态调整点，的位置，成员小敏发现，无论
（图①），还是
（图②），点，，，所在的圆均明显与的两边有四个交点，只有当
时（图③），点，，，所在的圆可能与的两边仅各有一个交点．于是，小敏猜想：当时（图③），点，，，所在的圆与的两边相切．
请你判断这个猜想是否正确，如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由．
，为两边上的动点，分别作和的平分线交于点，作和的平分线交于点．经小组成员交流后，证明了点，，，在同一个圆上．在进一步探究时，动态调整点
，的位置，成员小敏发现，无论（图①），还是（图②），点，，，所在的圆均明显与的两边有四个交点，只有当时（图③），点，，，所在的圆可能与的两边仅各有一个交点．于是，小敏猜想：当时（图③），点，，，所在的圆与的两边相切．请你判断这个猜想是否正确，如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由．
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【推荐2】如图，正方形
中，点是对角线
上一点，连接
并延长交
于点，连接
．
．
(2)若
，求
的值．
中，点是对角线上一点，连接并延长交于点，连接．
．(2)若
，求的值．
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，
的平分线交
的外接圆
于点
交
，若
，
．求
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(1)请按要求尺规作图：
①作线段AP的垂直平分线CD，交
于点C，交AP于点D，连接AC，CP；
②以点C为圆心，CA长为半径作弧，交于点E（E，A两点不重合），连接CE，BE，BC．
(2)猜想线段BP，BE的数量关系，并证明．
，点P是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．(1)请按要求尺规作图：
①作线段AP的垂直平分线CD，交
于点C，交AP于点D，连接AC，CP；②以点C为圆心，CA长为半径作弧，交
于点E（E，A两点不重合），连接CE，BE，BC．(2)猜想线段BP，BE的数量关系，并证明．
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时，求的长．
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上一点，连结BD并延长至点E，连结AD，CD．
的度数．
