如图1，直线
于点M，以
上的点O为圆心画圆，交于点A，B，交
于点C，D，
，
，点E为
上的动点，
交
于点F，
于点G，连接
，
，
．
(1)若
，求的长；
(2)如图2，过A作
交
延长线于点H，连接
、，是否存在常数k，使
成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
(3)当点G在的右侧时，请直接写出
面积的最大值．
于点M，以上的点O为圆心画圆，交于点A，B，交于点C，D，，，点E为上的动点，交于点F，于点G，连接，，． (1)若
，求的长；(2)如图2，过A作
交延长线于点H，连接、，是否存在常数k，使成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．(3)当点G在
的右侧时，请直接写出面积的最大值．
更新时间：2023-12-01 17:53:52
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【推荐1】已知在正方形
中，P为对角线
上任意一点，过点P作
交直线
于点E，过点E作
交于点F．
(1)如图1，当P为的中点时，
与
的数量关系为_______；
(2)如图2，当P不是的中点时，与的数量关系还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)正方形的边长为6，
，请直接写出线段的值；
中，P为对角线上任意一点，过点P作交直线于点E，过点E作交于点F． (1)如图1，当P为
的中点时，与的数量关系为_______；(2)如图2，当P不是
的中点时，与的数量关系还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)正方形
的边长为6，，请直接写出线段的值；
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【推荐2】点A是函数y＝
（x＞0）上一动点，连接OA，线段OB与OA关于y轴对称，将线段OA绕点O逆时针旋转90°得线段OC，将线段OA绕点A逆时针旋转90°得线段DA．
（1）在图1中画出线段OB、OC，保留作图痕迹；
（2）连接AB、BC、AC，当△AOB的面积等于△BOC的面积时，求△ABC的面积；
（3）如图3，若点D的坐标为（m，n），直接写出m与n的等量关系式．
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【推荐1】如图，直线y＝﹣2x+c交x轴于点A（3，0），交y轴于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M（m，0）是线段OA上一动点（点M不与点O，A重合），过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交抛物线于点N，若NP＝
AP，求m的值；
（3）若抛物线上存在点Q，使∠QBA＝45°，请直接写出相应的点Q的坐标．
（1）求抛物线的解析式；
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【推荐2】我们知道平行四边形有很多性质．现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折．会发现这其中还有更多的结论，如图，已知平行四边形ABCD中，
，将
沿AC翻折至
，连接
．
【发现与证明】（1）：如图1：结论①
是等腰三角形；结论②
．请证明结论①或结论②（只需证明一个结论）．
【应用与解答】（2）：如图2：如果
，
与CD相交于点E，求
的面积．
【拓展与探索】（3）：直接写出结论，当BC的长为多少时，
是直角三角形？
，将沿AC翻折至，连接．【发现与证明】（1）：如图1：结论①
是等腰三角形；结论②．请证明结论①或结论②（只需证明一个结论）．【应用与解答】（2）：如图2：如果
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【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴的正半轴上，A(8，0)，B(0，6)，点C从原点O出发，沿边OA向点A运动，速度为每秒1个单位长度，点D从点A出发，沿边AB向点B运动，速度为每秒2个单位长度．设两点同时出发，运动时间为t秒（0 < t < 5）
(1)当t= 时，DC
BO；
(2)当△ADC的面积为9时，求t的值；
(3)在（2）的条件下；
①作射线BC，若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
② 过点C作直线⊥x轴，过点B作直线⊥y轴，直线与直线交于点P，反比例函数
（k>0，x>0）的图像与直线、分别交于点E、F，连接EF，在y轴上是否存在点Q，使得△PEF和△QEF全等，若存在，请直接写出相应的k的值；若不存在，请说明理由．
(1)当t= 时，DC
BO；(2)当△ADC的面积为9时，求t的值；
(3)在（2）的条件下；
①作射线BC，若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
② 过点C作直线
⊥x轴，过点B作直线⊥y轴，直线与直线交于点P，反比例函数（k>0，x>0）的图像与直线、分别交于点E、F，连接EF，在y轴上是否存在点Q，使得△PEF和△QEF全等，若存在，请直接写出相应的k的值；若不存在，请说明理由．
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【推荐1】给出如下定义：有一组对角互余的凸四边形叫对余四边形．
证明：
(1)如图
，
是
的直径，点
、
、
在上，
，
相交于点
．求证：四边形
是对余四边形；
探究：
(2)如图
，在对余四边形中，＝
，
、为对角线，
，试探究线、和
之间的数量关系，并说明理由．
拓展：
(3)已知，在
中，
，为外一点，且四边形为对余四边形，请直接写出对角线的最大值．
证明：
(1)如图
，是的直径，点、、在上，，相交于点．求证：四边形是对余四边形；探究：
(2)如图
，在对余四边形中，＝，、为对角线，，试探究线、和之间的数量关系，并说明理由．拓展：
(3)已知，在
中，，为外一点，且四边形为对余四边形，请直接写出对角线的最大值．
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名校
【推荐2】已知：在平面直角坐标系中，点
为坐标原点，直线
与
轴交于点，与
轴交于点，抛物线
经过
两点，与轴的另一交点为点．
(2)如图2，点为直线上方拋物线上一动点，连接
，设直线交线段
于点
，
的面积为
的面积为
当
最大值时，求点的坐标及的最大值；
(3)如图3，
分别为抛物线上第一、四象限两动点，连接
，分别交轴于
两点，若在两点运动过程中，始终有
与
的积等于2．试探究直线
是否过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，与轴的另一交点为点．
(2)如图2，点
为直线上方拋物线上一动点，连接，设直线交线段于点，的面积为的面积为当最大值时，求点的坐标及的最大值；(3)如图3，
分别为抛物线上第一、四象限两动点，连接，分别交轴于两点，若在两点运动过程中，始终有与的积等于2．试探究直线是否过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
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(0.15)
名校
【推荐3】已知一次函数：
与x轴交于点A，与y交于点C． 抛物线
（a、m为常数）过定点B，连接BC，点D为线段BC上一动点．
（1）求出点B的坐标；
（2）过D作DP⊥AC于点P，DQ⊥x于点Q，设Q点横坐标为t，DP长度为d，试求d关于t的函数解析式；
（3）①当m＝0，a＞0时，该抛物线上存在唯一的点H使∠CAH＝45°，求此时抛物线的解析式；
②过点D作DE⊥BC交线段OB于点E，连接CE并延长交△OBC的外接圆于点F，当点D在BC上移动时，求
的最大值．
与x轴交于点A，与y交于点C． 抛物线（a、m为常数）过定点B，连接BC，点D为线段BC上一动点．（1）求出点B的坐标；
（2）过D作DP⊥AC于点P，DQ⊥x于点Q，设Q点横坐标为t，DP长度为d，试求d关于t的函数解析式；
（3）①当m＝0，a＞0时，该抛物线上存在唯一的点H使∠CAH＝45°，求此时抛物线的解析式；
②过点D作DE⊥BC交线段OB于点E，连接CE并延长交△OBC的外接圆于点F，当点D在BC上移动时，求
的最大值．
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(0.15)
名校
解题方法
【推荐1】如图，
内接于
中，弦BC交AD于点E，连接CD，
交CD的延长线于点G，BG交于点H，
．
(1)如图1，求证：DB平分
；
(2)如图2，
于点N，CN＝CG，求证：AN＝HG；
(3)如图3．在（2）的条件下，点F在AE上，连接BF、CF，且
，
，BC＝5．求AE的长．
内接于中，弦BC交AD于点E，连接CD，交CD的延长线于点G，BG交于点H，．(1)如图1，求证：DB平分
；(2)如图2，
于点N，CN＝CG，求证：AN＝HG；(3)如图3．在（2）的条件下，点F在AE上，连接BF、CF，且
，，BC＝5．求AE的长．
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(0.15)
名校
【推荐2】如图，矩形ABCD中，BC＝8，点F是AB边上一点（不与点B重合）△BCF的外接圆交对角线BD于点E，连结CF交BD于点G．
（1）求证：∠ECG＝∠BDC．
（2）当AB＝6时，在点F的整个运动过程中．
①若BF＝2
时，求CE的长．
②当△CEG为等腰三角形时，求所有满足条件的BE的长．
（3）过点E作△BCF外接圆的切线交AD于点P．若PE∥CF且CF＝6PE，记△DEP的面积为S1，△CDE的面积为S2，请直接写出的值．
（1）求证：∠ECG＝∠BDC．
（2）当AB＝6时，在点F的整个运动过程中．
①若BF＝2
时，求CE的长．②当△CEG为等腰三角形时，求所有满足条件的BE的长．
（3）过点E作△BCF外接圆的切线交AD于点P．若PE∥CF且CF＝6PE，记△DEP的面积为S1，△CDE的面积为S2，请直接写出
的值．
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与
两点，圆心
的半径为
，过点
．
是第一象限内
，且
，求点
，在移动过程中是否存在点
是直角三角形？若存在，求出点
