【推荐1】如图，在中，对角线上有两点，，且．
   
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，且，请直接写出四边形的周长．

【推荐2】如图，四边形是矩形，，，点、分别在、上，且，连接、．

   

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的长度．

【推荐3】类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”
（1）已知：如图1，在“准等边四边形”ABCD中，BC≠AB，BD⊥CD，AB＝3，BD＝4，求BC的长；
（2）在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形．请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；
（3）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝2．在AB的垂直平分线上是否存在点P使得以A，B，C，P为顶点的四边形为“准等边四边形”？若存在，请求出该“准等边四边形”的面积；若不存在，请说明理由．

【推荐1】已知长方形纸片，点在边上，点，在边上，连接，．将对折，点落在直线上的点处，得折痕；将对折，点落在直线上的点处，得折痕．
       
（1）如图（1），若点与点重合，求的度数；
（2）如图（2），若点在点的右侧，且，求的度数；
（3）若，请直接用含的式子表示的大小．

【推荐2】学习了平行线后，小龙同学想出了“过已知直线m外一点P画这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的（如图（1）～（4））．
请你观察图（1）～（4），完成下面的填空题和选择题．

第一次折叠后（如图（2）所示），得到的折痕与直线m之间的位置关系是____________；将正方形纸展开，再进行第二次折叠（如图（3）所示），得到的折痕与第一次折痕之间的位置关系是______；再将正方形纸展开（如图（4）所示），可得第二次折痕所在的直线即为过点P的已知直线m的平行线．从图中可知，小明画平行线的依据有（       ）
①两直线平行，同位角相等；        ②两直线平行，内错角相等：
③同位角相等，两直线平行；          ④内错角相等，两直线平行．
A．①②             B．②③             C．③④             D．①④

【推荐3】在扇形AOB中，半径，，点P在半径OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到．且与所在的圆相切于点B．

(1)求的度数；
(2)求AP的长．

【推荐1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AB＝5x，AE＝2x，AC＝3x+2，AD＝2x+1，求BC的长．

【推荐2】如图，直线经过上的点C，并且，，交直线于E、D，连，．

(1)求证：直线是的切线；
(2)试猜想，，三者之间的等量关系，并加以证明；
(3)若，的直径为5，求的长．

【推荐3】已知：如图，在矩形中，，对角线相交于点E，动点M从点D出发，沿方向匀速运动，速度为；与M点同时，动点N从点C出发，沿方向匀速运动，速度为；当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动．设运动时间为t（s），（）．解答下列问题：
   
(1)当______，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似；
(2)设的面积为S，求出S与t的函数表达式；
(3)延长分别交于，连接，是否存在某一时刻t，使四边形是矩形？若存在，求出这一时刻的t值；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，AB是⊙O的直径，且AB＝6，过点B作⊙O的切线BM，以点M为圆心，BM的长为半径画弧，交⊙O于点C（不与B点重合），连接AC并延长，交BM的延长线于点D．

(1)求证：MC是⊙O的切线．
(2)填空：①当MC＝　 　时，四边形BOCM是正方形；
②当MC＝　 　时，三角形CDM是等边三角形．

【推荐2】如图，在菱形中，，为对角线．点是边延长线上的任意一点，连接交于点，平分交于点G．

(1)求证：；
(2)若，．
① 求菱形的面积；
② 求的值．