【探究证明】
（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图1，矩形
中，
，
分别交
，
于点
，
，
分别交
，
于点
，
，求证：
；
【结论应用】
（2）如图2，在满足（1）的条件下，又
，点
，
分别在边，上，若
，则
的值为________；（直接写出结果）
【联系拓展】
（3）如图3，四边形中，
，
，
，
，点，分别在边，上，求
的值．
（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图1，矩形
中，，分别交，于点，，分别交，于点，，求证：；【结论应用】
（2）如图2，在满足（1）的条件下，又
，点，分别在边，上，若，则的值为________；（直接写出结果）【联系拓展】
（3）如图3，四边形
中，，，，，点，分别在边，上，求的值．
更新时间：2023-12-14 09:04:22
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【推荐1】如图，在四边形中，
，
，点
从点
出发，以
的速度向点
运动；点
从点
出发，以
秒的速度问点
运动，规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为
秒．
两点同时出发．
①当t为何值时，四边形
为平行四边形？
②当t为何值时，
？
(2)若P点先运动3秒后停止运动，此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为何值时，
为直角三角形．
中，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点出发，以秒的速度问点运动，规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．
两点同时出发．①当t为何值时，四边形
为平行四边形？②当t为何值时，
？(2)若P点先运动3秒后停止运动，此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为何值时，
为直角三角形．
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【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，
的顶点在
轴正半轴上，点在
轴的正半轴上，点和点的坐标分别为
，
．的长；
(2)点从原点
出发沿射线
以每秒
个单位长度的速度运动，运动时间为，连接
，设
的面积为
，试用含的代数式表示（不要求写出的取值范围）；
(3)在（2）条件下，在线段上，当
时，在射线上是否存在点，使
为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
的顶点在轴正半轴上，点在轴的正半轴上，点和点的坐标分别为，．
的长；(2)点
从原点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，运动时间为，连接，设的面积为，试用含的代数式表示（不要求写出的取值范围）；(3)在（2）条件下，
在线段上，当时，在射线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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【推荐3】【教材重现】苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）问是这样一个问题：如图，在正方形中，如果点E、F分别在
上，且
，垂足为M，那么
与
相等吗？证明你的结论；
（1）请根据上述内容，结合图1，帮助小明写出完整的证明过程．
【变式探究】小明在解决问课本问题的证明后，作如下探究：
（2）在图1中，小明认为若将条件“”改为“
”，则一定有．你认为小明的判断对吗？说明理由；
（3）如图，在（2）的条件下，若再已知
，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为
，请直接写出
的周长．
中，如果点E、F分别在上，且，垂足为M，那么与相等吗？证明你的结论； （1）请根据上述内容，结合图1，帮助小明写出完整的证明过程．
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（2）在图1中，小明认为若将条件“
”改为“”，则一定有．你认为小明的判断对吗？说明理由；（3）如图，在（2）的条件下，若再已知
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【推荐1】将矩形ABCD沿对角线BD翻折，点A落在点A′处，AD交BC于点E，点F在CD上，连接EF，且CE＝3CF，如图1．
（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；
（2）若∠DEF＝45°，求tan∠CDE的值；
（3）在（2）的条件下，点G在BD上，且不与B、D两点重合，连接EG并延长到点H，使得EH＝BE，连接BH、DH，将△BDH沿DH翻折，点B的对应点B′恰好落在EH的延长线上，如图2．当BH＝8时，求GH的长．
（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；
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【推荐2】在矩形中，M、N分别在边上，且
，以
为直径作
，连结
交于点H，连结
交于点P，
，
．
(1)求证：
；
(2)若
平分
，求
的长；
(3)若
为等腰三角形，直接写出
的长．
中，M、N分别在边上，且，以为直径作，连结交于点H，连结交于点P，，．(1)求证：
；(2)若
平分，求的长；(3)若
为等腰三角形，直接写出的长．
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边上，
连结
是线段
的中点，连结
．
与
和
面积分别为
和
，求
的最大值．
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【推荐1】如图，在
中，
，点D在边
上，连接
，以为底边作等腰
（点E在直线右侧），连接
．
，求证：
；
(2)如图2，若
，
，
，求的长；
(3)如图3，连接AE，若
，
，直接写出的长．
中，，点D在边上，连接，以为底边作等腰（点E在直线右侧），连接．
，求证：；(2)如图2，若
，，，求的长；(3)如图3，连接AE，若
，，直接写出的长．
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【推荐2】已知中，，
，
，点D是
边上的一个动点（不与点A、B重合），点F是边
上的一点，且满足
，过点C作
交
的延长线于点E．
，则
__________；
(2)如图2，连接
，若
，求的长；
(3)过点C作射线的垂线，垂足为H，射线
与射线
交于点Q，若
是以
为腰的等腰三角形，求
的长．
中，，，，点D是边上的一个动点（不与点A、B重合），点F是边上的一点，且满足，过点C作交的延长线于点E．
，则__________；(2)如图2，连接
，若，求的长；(3)过点C作射线
的垂线，垂足为H，射线与射线交于点Q，若是以为腰的等腰三角形，求的长．
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于
，
，经过点
的长；
，直接写出
