【推荐1】（1）如图1，已知，在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有________个等腰三角形：与、之间的数量关系是________，的周长是________．
（2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有________个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长．
（3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？写出结论并证明．

【推荐2】在等边三角形中，，点D是边上的一点，点P是边上的一点，连接，以为边作等边三角形，连接．

(1)如图1，当点P与点A重合时，
①证明：；
②填空：的值为__________．
(2)如图2，若，请计算的值．

【推荐3】已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在⊙O 上运动（不与点B重合），连接CD，且CD=OA.

(1)当OC=时（如图），求证：CD是⊙O的切线；
(2)当OC＞时，CD所在直线于⊙O相交，设另一交点为E，连接AE.
①当D为CE中点时，求△ACE的周长;
②连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE·ED的值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，正方形的边在坐标轴上，点B的坐标为．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接，过P点作的垂线，与过点Q平行于y轴的直线相交于点D．与y轴交于点E，连接．设点P运动的时间为．
   
(1)的度数为______，点D的坐标为______（用t表示）；
(2)求当为何值时，为等腰三角形？
(3)探索周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．

【推荐2】已知是等边三角形，D是射线上一个动点，延长至E，使．连接，．

(1)如图，若D是的中点，求证；
(2)若D是边上一点（不与中点重合），则（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)若D是边延长线上一点，，，请直接写出的长．

【推荐3】如图，在中，，点D为内一点，且．

(1)求证：；
(2)，E为延长线上的一点，且．
①若点M在上，且，请判断的数量关系，并给出证明；
②若N为直线上一点，且为等腰三角形，求的度数．