【推荐1】在中，．

(1)特例证明：如图1，点D，E分别在线段上，，求证：；
(2)探索发现：将图1中的绕点C逆时针旋转（）到图2位置，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展运用：如图3，点D在内部，当时，若，，，求线段的长（直接写出答案）．

【推荐2】如图，，点在上，过点作的平行线，与的平分线交于点，为的中点，点在上，（不与点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．

   

(1)①直接写出线段与之间的数量关系；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
(2)连接并延长，分别交，于点，过点作的垂线，交于点．依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系．

【推荐3】综合与探究
如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E．若M为第一象限内抛物线上一点，过点M且垂直于x轴的直线交DE于点N，连接，．
   
(1)求抛物线的函数表达式及D，E两点的坐标．
(2)当时，求点M的横坐标．
(3)G为平面直角坐标系内一点，是否存在点M使四边形是正方形．若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，等边△ABC的边AC在x轴上，AC中点O为坐标原点，已知C（2,0），动点D从A出发沿线段AB向终点B运动，速度为2个单位长度/秒，运动时间为t，过点D作DE⊥AC，垂足为E.
（1）当OD⊥AB时，求E点坐标.
（2）过E做EF⊥BC，垂足为F，过F作FG⊥AB，垂足为G，请用含t的式子表示线段DG的长度.
（3）在（2）的条件下，作点C关于EF的对称点H，连接HG并延长交直线DE于点Q，当t为何值时，HQ=EQ，并求出此时DG的长度.

【推荐2】（1）如图1，是等边三角形，点D是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系．
解题思路：延长到点E，使，连接，根据，可证，易证得，得出是等边三角形，所以；从而探寻线段、、之间的数量关系．
根据上述解题思路，请直接写出、、之间的数量关系是           ．
【拓展延伸】
（2）如图2，在中，，．若点D是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系，并说明理由；
【知识应用】
（3）如图3，两块斜边长都为的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离的长分别为           cm．

【推荐3】问题背景（1）如图1，与中，，，，求证：；
尝试应用（2）如图2，点D是等边内一点，连接，点E在上，，延长交于F，若，求证：点F是的中点．
拓展应用（3）如图3，已知中，，，，以为底边在外作等腰三角形，且，连接，则的长为________

【推荐1】如图，已知在直角坐标系中，A（4,0），B（0，3），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．点P是x轴上的一个动点，设P（x,0）．

（1）求△ABC的面积；
（2）若△ABP是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）是否存在这样的点P，使得的值最大？如果不存在，请说明理由；如果存在，请在备用图中标出点P的位置．

【推荐2】已知Rt△OAB，，，斜边，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如题图1，连接BC．

(1)填空：________°；
(2)如图1，连接AC，作，垂足为P，求OP的长度；
(3)如图2，点M，N同时从点出发，在边上运动，M沿路径匀速运动，N沿路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？

【推荐3】已知中，，，中，，，连接．

（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当在上，在的延长线上，直线、相交于点，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，若是中点，若，求的长．