【推荐1】如图，A，B，C是⊙O上的点，其中，过点B画BD⊥OC于点D．
（1）求证：AB＝2BD．
（2）若AB＝，CD＝2，求的长和图中涂色部分的面积．

【推荐2】如图所示，在中，为直径，为圆上一点，点为中点，于，求证：.

【推荐3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，点E是上一点，点D关于CE的对称点F恰好落在DA的延长线上，连结CF．
（1）求证：∠BAD＝∠ECF．
（2）若tan∠BAD＝，AF＝9，求⊙O的半径．

【推荐1】如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求和的长．

【推荐3】如图，为直径，C为上的一点，过点C的切线与的延长线相交于点D，．

(1)连接，求证：；
(2)E是中点，连接，若，求的长．

【推荐1】已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，
求证：BM·AC=MN·AB

【推荐2】将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE在BB′于点E，连接DB′、CE．

(1)如图1，当α＝60°，△DEB′的形状为________，连接BD，可出的值为________；
(2)当0°＜α＜ 360°且α≠90°时，
①(1)的结论是否依然成立?如果成立，请仅就图2的情况进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点B′、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．

【推荐3】如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交⊙O的切线BE于点E，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F．

（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若DF=3，DE=2．
①求值；
②求的度数．

【推荐1】已知,点A为⊙0外一点,过A作⊙O的切线与⊙O相切于点P，连接PO并延长至圆上一点B连接AB交⊙O于点C,连接OA交⊙O于点D连接DP且∠OAP=∠DPA．

（1）求证：PO=PD
(2)若AC=,求⊙O的半径．

【推荐2】如图，在中，，以为直径的与交于点D，连接，
   
(1)若点E为劣弧的中点，连接交于点F．求证：；
(2)若的半径等于4，且与相切于点A，求阴影部分的面积（结果保留）．

【推荐3】如图，是的切线，是的直径，与交于D，弧上一点E，使得点D成为弧的中点，连接与交于F．

(1)比较与的长度．并说明理由．
(2)当，时，求的长．