【推荐1】如图，中，在平面内将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点D作，分别交、于点E、F，连接．

(1)如图1，若，．求的长度．
(2)如图2，若，求证：．
(3)如图3，在（2）问的条件下，若，点P在射线上运动，当取得最小值为时，在平面内将绕点B逆时针旋转度得到，当点恰好在线段上时，请直接写出的面积的值．

【推荐2】如图1，以平行四边形的顶点O为坐标原点，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，，D是对角线的中点，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动到点B，同时点Q从点O出发，以每秒3个单位的速度沿x轴正方向运动，当点P到达点B时，两个点同时停止运动．

（1）求点A的坐标．
（2）连结，，，当经过点D时，求四边形的面积．
（3）在坐标系中找点F，使以Q、D、C、F为顶点的四边形是菱形，则点F的坐标为________．（直接写出答案）

【推荐3】在中，，D为边上一点，点E在的延长线上，连接．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，点F是延长线上一点，连接，过D作于H，延长交于点G，的面积为4，求线段的长度．

【推荐1】已知：如图，内接于，点E为弧上一点，延长交于点D，且．
   
(1)如图1，连接，求证：；
(2)如图2，射线交于点F，弦于点H，连接交于点K，若，求证；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，设与交于点N，连接，若，，求的长．

【推荐3】已知四边形内接于⊙O，，垂足为E，，垂足为F，交于点G，连接．

(1)求证：；
(2)如图1，若，，求⊙O的半径；
(3)如图2，连接，交于点H，若，，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．

【推荐1】已知一次函数：与轴交于点，与轴交于点． 抛物线（、为常数）过定点，连接，点为线段上一动点．
（1）求出点的坐标；
（2）过作于点，于点，设点横坐标为，长度为，试求关于的函数解析式；
（3）①当，时，该抛物线上存在唯一的点使，求此时抛物线的解析式；
②过点作交线段于点，连接并延长交的外接圆于点，当点在上移动时，求的最大值．

【推荐3】问题提出
（1）如图①，内接于，过点作的切线，在上任取一个不同于点的点，连接、，比较与的大小，并说明理由．

问题探究
（2）如图②，正方形，边长为2，在边上是否存在点，使最大？若存在，确定点的位置，并求此时的值；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）如图③，四边形为某工作室的平面示意图，线段、、为三面墙，为入户门处，其中，，，米，米，米．出于安全考虑，负责人想在墙上安装监控装置，用来监控并记录进出的人员，为了让监控效果最佳，要求最大．试问在墙上是否存在一点，使得最大？若存在，请求出此时的值及点的位置；若不存在，请说明理由．

【推荐1】（1）如图1，在正方形中，点E为边上一点，将沿翻折得，延长交边于点F，连接．求证：．
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点A的坐标为、点B的坐标为且a，b满足，点C在y轴正半轴上，．
①      ，      ；
②求点C的坐标；
③如图3，延长至点D，使，过点D作轴于点E．设G为y轴上一点，点P从点E出发，先沿y轴到达G点，再沿到达B点．若点P在直线上运动速度为定值，在y轴上运动速度为，要使P点按照上述要求到达B点所用的时间最短，则此时点G的坐标是      （直接写答案）．