【推荐2】综合与实践
问题引入：课外兴趣小组活动时，老师提出这样的问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形的三边关系从而求出的取值范围．从中他总结出：解题时，条件中若出现“中线”“中点”等条件，可以考虑将中线加倍延长，构造全等三角形，把分散的条件和需求证的结论集中到同一个三角形中．
理解应用：（1）请你根据小明的思路，求的取值范围；
感悟应用：（2）如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，求证：；
延伸拓展：（3）如图3，在和中，，，，连接、，过点A作于点M，反向延长交于点N，求证：．

【推荐3】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考：

(1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是______________．
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系；
(2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明；
(3)如图3，在中，是的三等分点．求证：．

【推荐1】在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点(不与点B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）如左下图，当点D在线段BC上时，写出△ABD≌△ACE的理由；
（2）如下中图，当点D在线段BC上，∠BAC=90°，直接写出∠BCE的度数；
（3）如右下图，若∠BCE=α，∠BAC=β．点D在线段CB的延长线上时，则α、β之间有怎样的数量关系？写出你的理由．

【推荐2】如图，在中，∠AC8=90°，∠BAC=a，点D在边AC上（不与点A、C重合）连接BD，点K为线段BD的中点，过点D作于点E，连结CK，EK，CE，将△ADE绕点A顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90度)
(1)如图1．若a=45，则的形状为__________________；
(2)在（1)的条件下，若将图1中的三角形ADE绕点A旋转，使得D，E，B三点共线，点K为线段BD的中点，如图2所示，求证：；
(3)若三角形ADE绕点A旋转至图3位置时，使得D，E，B三点共线，点K仍为线段BD的中点，请你直接写出BE，AE，CK三者之间的数量关系（用含a的三角函数表示）
      

【推荐3】（1）观察猜想：如图①，在和中，，，，连接，点是的中点，连接、，当点、、三点共线时，线段与线段的数量关系是_________，位置关系是_________．
（2）探究证明：在（1）的条件下，将绕点顺时针旋转至图②位置时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请你就图②的情形进行证明；如果不成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：如图③，在和中，，，，连接，点是的中点，连结、，将绕点在平面内自由旋转，请直接写出的取值范围．

【推荐1】（1）【问题探究】如图1，已知是的中线，延长至点E，使，连接，可得四边形，求证：四边形是平行四边形．
（2）【拓展提升】如图2，在的中线上任取一点M（不与点A重合），过点M、点C分别作，，连接．求证：四边形是平行四边形．
（3）【灵活应用】如图3，在中，，，，点D是的中点，点M是直线上的动点，且，，当取最小值时，求线段的长．
   

【推荐2】已知ABC．

(1)如图1，按如下要求用尺规作图：
①作出ABC的中线CD；
②延长CD至E，使DE＝CD，连接AE；（不要求写出作法，但要保留作图痕迹．）
(2)在（1）中，直线AE与直线BC的关系是          ；
(3)如图2，若∠ACB＝，CD是中线．试探究CD与AB之间的数量关系，并说明理由；
(4)如图3，若∠ACB＝，AC＝BC，CD是ABC的中线，过点B作BE⊥AC于E，交CD于点F，连接DE．若CF＝4，则DE的长是          ．

【推荐3】如图：

(1)如图1，平行四边形ABCD中，于M，于N．求证：．
(2)如图2，平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，求证：．
(3)如图3，PT是的中线，已知：，，．求：PT的长度．

【推荐1】如图，在中，，，．点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回；同时点从点出发沿以相同的速度向点匀速运动，当点到达点时两点同时停止运动．伴随着、的运动，保持垂直平分线段，且交于点，交折线于点．设点的运动的时间是秒．

（1）求的长．
（2）用含的代数式表示线段的长．
（3）在点从点向点运动的过程中，当四边形为矩形时，求的面积．
（4）当经过点时，请直接写出的值．

【推荐2】如图所示，中，边的垂直平分线与相交于点，与相交于点，求证：．

【推荐3】如图，已知线段．

(1)按下面的步骤，利用直尺和圆规作出线段的垂直平分线：分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点；过点作直线交于点，则直线就是线段的垂直平分线（不写作法，但要保留作图痕迹，标上相应的字母）；
(2)根据（1）的作图方法证明直线垂直平分线段．