【推荐1】如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点P是Rt△ABC斜边AC上一动点（不与A，C重合），连接BP，分别过点A、C作直线BP的垂线，垂足分别为点E、F，Q是AC的中点，连接QF．

(1)如图①，当点P在线段AC上，且APAC时，若BF＝5，CF＝9，求EF的长；
(2)在（1）的条件下，求证：EFQF；
(3)如图②，连接BQ，当点P在线段CA的延长线上时，若QF＝2，请直接写出四边形AEBQ的面积．

【推荐2】（1）问题提出：如图1，在中，，，，则的长为______；
   
（2）问题探究：如图2，在矩形中，，，点P是矩形内部或边上一点，若以P、B、C为顶点的三角形是以为底边的等腰三角形，求P、D两点之间的最短距离；
   
（3）问题解决：如图3，西安昆明池也称“七夕公园”，源于汉武帝元狩三年，为训练水师，在长安斗门镇一带，开凿了昆明池，池中刻置石琼，两岸刻制牛郎、织女，以象征天河．设计师规划一块等腰直角三角形区域种植玫瑰花和四分之一圆区域种植郁金香，其中，米，以B为圆心以长为半径画弧交延长线于点D，点P是上的一动点（不与点C、D重合），连接，过点C作交于点Q．为方便游人休息，设计师想在Q处建立一个亭子，从点D到点Q处修一条小路（亭子大小和路的宽度忽略不计），且满足点D到点Q的距离最小，这样的点Q是否存在，若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．
   

【推荐3】（1）【尝试与感悟】如图1，在中，用圆规和无刻度的直尺在上求作一点E，使得点E为的中点；
      
（2）如图2，在中，E为的中点，连接，点D与点关于对称，连接并延长交于点G，请判断与的数量关系，并加以证明．
（3）【迁移与应用】如图3，在菱形中，，点M为边上一动点（M与A、B不重合），连接，将沿着所在的直线翻折，得到；
①已知，若，求与菱形重合部分的面积；
②设，与的交点为H，当点H在以点C为圆心，为半径的圆上，求的值．