【推荐2】【数学模型】
“8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，交于点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①（对顶角相等）；②．

【提出问题】分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图2，与，之间是否存在某种数量关系呢？
【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知的平分线与的平分线交于点．
(1)如图2，，，则的度数是多少呢？
易证，
请你完成后续的推理过程：
______
，分别是，的平分线
，
______
又，
______度．
(2)在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出与，之间的数量关系是： ______．
【类比应用】
(3)如图3，的平分线与的平分线交于点．
已知：，，则______．（用、表示）

【推荐3】如图1，，点E、F分别在、上，点O在直线、之间，且．

(1)求的值；
(2)如图2，直线分别交、的角平分线于点、，直接写出的值；
(3)如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点、，且，直接写出的值．

【推荐1】菱形中，，点是边上的点，点是边上的点．

(1)如图，若点是的中点，，连接并延长交的延长线于点，连接，
①求证：；
②判定的形状，并说明理由；
(2)若菱形面积为，将菱形沿翻折，点的对应点为点．
①如图，当点落在边的延长线上时，连接，交于，交于点，求的值；
②如图，当，垂足为点，交于点，求四边形的面积．

【推荐2】在平面直角坐标系中，点A，B别在x轴y轴的正半轴上，点C在第一象限，
，，点A的坐标为，点C的横坐标为n，且．
（1）点A，B，C三点的坐标分别为A__________，B__________，C__________；
（2）如图2，点D为边的中点，以点D为顶点的直角的两边分别交边于点E，交于点F．
求证：①；
②四边形面积等于面积的一半．
③在平面直角坐标系中有一点G（点G不与点A重合），使得是以为直角边的等腰直角三角形，请求出满足条件的点G的坐标．
   

【推荐3】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．
（1）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当AB＝BE＝1时，求⊙O的面积；
（3）在（2）的条件下，求HG的长．

【推荐1】已知点D在外，，，射线与的边交于点H，，垂足为E，.

(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图1，求证：；
(3)如图2，在（1）的条件下，，点F在线段BC，且，点，分别是射线、上的动点，在点M，N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值：若不存在，写出你的理由.

【推荐2】【问题背景】
如图，正方形的边长为8，E是边的中点，点P在射线上，过点P作于点F，连接．
【初步探究】
（1）求证：；
（2）若点 P在边上运动，且，求与的相似比；
【拓展提升】
（3）当点P在射线上运动时，设，是否存在实数x，使得以点P、F、E为顶点的三角形与相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

   

【推荐1】如图1，A，B分别在射线上，且为钝角，现以线段为斜边向的外侧作等腰直角三角形，分别是，点C，D，E分别是，的中点．

   

(1)求证：；
(2)延长交于点R．
①如图1，若，求证：为等边三角形；
②如图3，若，求大小和的值．

【推荐2】探究：已知，如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是线段AB上一个动点．

（1）画出点D关于直线AC、BC的对称点M、N；
（2）在（1）的条件下，连接MN
①求证：M、C、N三点在同一条直线上；
②求MN的最小值．
应用：已知，如图2，在△ABC中，∠C＝30°，AC＝CB，AB＝3，△ABC的面积为S，点D、E、F分别是AB、AC、BC上三个动点，请用含S的代数式直接表示△DEF的周长的最小值，并在图2中画出符合题意的图形．