【推荐1】如图，在中，．

（1）用尺规在边上求作一点，使，并连接．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）当为_______度时，平分；
（3）当时，的周长=__________．

【推荐2】如图，中，，点O为边中点，且，．

(1)请用尺规作图在上作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，求的面积．

【推荐3】如图，在中，，垂足为H，且，E为延长线上一点，过点E作，分别交于F，M．

(1)求证；
(2)若，求的长．

【推荐2】《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．小迪同学在学习过程中产生了一个猜想：“如果三角形一边上的中线的长度等于所在边长度的一半，那么这个三角形是直角三角形．”

(1)请你用尺规作图，在图中作出线段的中点，并连接．（保留作图痕迹）
(2)请你结合图形，将小迪猜想的命题写成已知、求证．
已知：                 
求证： 为直角三角形．
(3)补全上述猜想的证明过程．
证明：∵点是线段的中点，
∴                 ，
又∵，
∴，
在中，∵，
∴，（___________）（填推理的依据），
同理，在中，          =           ．
在中
∵．
∴           ＋         ，
∵在中，
∴在中， ，
∴为直角三角形．

【推荐1】如图，在中，点，分别在，上，．

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，点为的中点，求四边形的面积．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线（其中a、c为常数，且）与x轴的一个交点为，与y轴交于点B，此抛物线顶点C的纵坐标为4．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求的正切值；

【推荐1】如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度为．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为．

(1)求圆弧形拱顶的半径的长度；
(2)求的长度．

【推荐2】如图，是的外接圆，为的直径，点D是的中点，连接，作的平分线交于点E

(1)求证：；
(2)若过C点的切线与的延长线交于点F，已知，求、线段围成的阴影部分面积；

【推荐3】如图，有一座石拱桥的桥拱是以为圆心，为半径的一段圆弧．

请你确定弧的中点；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
如果已知石拱桥的桥拱的跨度（即弧所对的弦长）为米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为米，求桥拱所在圆的半径．