【推荐1】如图，为半的直径，弦的延长线与过点的切线交于点，为的中点，连接．

（1）求证：是的切线；
（2）过点作，垂足为点，，，求的半径．

【推荐2】如图，是的直径，过点B作的切线BM，弦，交于点F，且，连接，，延长交于点E．

(1)求证：是等边三角形；
(2)连接，若，求的长．

【推荐3】中国结象征着中华民族的历史文化与精神，如图1，小明家有一菱形中国结挂饰，他想求两对边的距离，于是利用所学知识抽象出如图2所示的菱形，测得，，过点O作，分别交边于点E，F，求的长．
   

【推荐1】图1是郑州市北龙湖的“鼎桥”示意图，“鼎”形结构寓意鼎盛中原，展现了郑州厚重的地域文化．某校数学社团使用皮尺和自制的测角仪测量“鼎桥”的高度．如图2，他们在点M处架设测角仪测得“鼎桥”最高点A的仰角为22°，然后沿方向前进153m到达点N处，又测得最高点A的仰角为45°．已知测角仪的高度为m，测量点M，N与大桥的底部B在同一水平线上，求“鼎桥”的高度．（结果精确到小数点后一位．参考数据：，，，）

【推荐3】如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)在点运动的过程中，的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若AB=14，cos∠CAB=，求线段OE的长．

【推荐2】如图，在中，，于点D．，求BC的长．

【推荐3】如图，反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象与一次函数y＝kx+8（k为常数，k≠0）的图象在第三象限内相交于点D（﹣，m），一次函数y＝kx+8与x轴、y轴分别相交于A、B两点．已知cos∠ABO＝．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点P是x轴上的动点，当△APC的面积是△BDO的面积的2倍时，求点P的坐标．