【推荐1】如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点 F．求证：OE是CD的垂直平分线．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，点在轴的正半轴上，点和点的坐标分别为，．

(1)求线段的长；
(2)点从原点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，运动时间为，连接，设的面积为，试用含的代数式表示（不要求写出的取值范围）；
(3)在（2）条件下，在线段上，当时，在射线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图1，已知矩形ABCD的宽AD=8，点E在边AB上，P为线段DE上的一动点（点P与点D，E不重合），∠MPN=90°，M，N分别在直线AB，CD上，过点P作直线，作PF⊥AB，垂足为点F，过点N作NG⊥HK，垂足为点G．

（1）求证：∠MPF=∠GPN
（2）在图1中，将直角∠MPN绕点P顺时针旋转，在这一过程中，试观察、猜想：当MF=NG时，△MPN是什么特殊三角形？在图2中用直尺画出图形，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当∠EDC=30°时，设EP＝x，△MPN的面积为S，求出S关于x的解析式，并说明S是否存在最小值？若存在，求出此时x的值和△MPN面积的最小值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知：如图所示，四边形中，，．

(1)求证：；
(2)当时，若点E、F分别在边BC、CD上，且，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，是等腰三角形，直接用含的代数式表示．

【推荐3】如图，在中，，，，D，E分别是AB，BC边上的动点，以BD为直径的交BC于点F．

（1）当时，求证：；
（2）当是等腰三角形且是直角三角形时，求AD的长．

【推荐1】【感知】
（1）小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：
如图1，在中，点D是边的中点，点E是边的一个三等分点，且．连结交于点G，求的值．
小明发现，过点D作交于点H，可证明，得到相关结论后，再利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．
现在，请你帮助小明解决这个问题，写出完整的求解过程．

【尝试应用】
（2）如图2，在中，点D为上一点，，连结，，分别交于点E、点F．若，，，请求出的长．

【拓展提高】
如图3，在平行四边形中，点E为的中点，点F为上一点，与分别交于点G、M，若，则的值为______．

【推荐3】阅读材料：如图，在中，，分别是边，的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证．

(1)类比迁移：如图，是的中线，交于点，交于点，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图，延长至点，使，连接，…请根据小明的思路完成证明过程．
(2)方法运用：如图，在等边中，是射线上一动点（点在点的右侧），连接．把线段绕点逆时针旋转得到线段．是线段的中点，连接，．
①请你判断线段与的数量关系，并给出证明；
②若，，请直接写出的长．

【推荐1】附加题,已知：矩形，，动点从点开始向点运动，动点速度为每秒1个单位，以为对称轴，把折叠，所得与矩形重叠部分面积为，运动时间为秒.

（1）当运动到第几秒时点恰好落在上；
（2）求关于的关系式，以及的取值范围；
（3）在第几秒时重叠部分面积是矩形面积的；
（4）连接，以为对称轴，将作轴对称变换，得到，当为何值时，点在同一直线上？

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，矩形的边的边分别在轴，轴正半轴上，， 点从点出发以每秒2个单位长度的速度向终点运动，点不与点重合以为边在上方作正方形，设正方形与的重叠部分图形的面积为（平方单位），点的运动时间为（秒）．

（1）直线所在直线的解析式是__________________________．
（2）当点落在线段上时，求的值．
（3）在点运动的过程中，求与之间的函数关系式；
（4）设边的中点为，点关于点的对称点为，以为边在上方作正方形当正方形与重叠部分图形为三角形时，直接写出的取值范围．
（提示：根据点的运动，可在草纸上画出正方形与重叠部分图形为不同图形时的临界状态去研究．）