【推荐1】如图，在中，，的垂直平分线，相交于点O，求证：点O在的垂直平分线上．

【推荐2】如图，，，点在的垂直平分线上．
   
(1)，，有什么数是关系？请说明理由．
(2)求证：．
(3)若，，求的面积．

【推荐3】如图，在中，边的垂直平分线交边于点，连接．

(1)如图，的周长为，求的长．
(2)求，，求的度数．

【推荐1】如图，一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，M，N分别是位于AB两侧的村庄.

（1）设汽车行驶到公路AB上点P的位置时，距离村庄M最近，行驶到点Q的位置时，距离村庄N最近，在图中的公路AB上分别画出点P，Q位置.
（2）在公路AB上是否存在这样一点H，使汽车行驶到该点时，与村庄M，N的距离相等？如果存在请在图中AB上画出这一点，如果不存在请说明理由.

【推荐2】作图题：电信部门要修建一座电视信号发射塔，如图，按照设计要求A，B的距离必须相等，到两条高速公路m，n，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．

【推荐3】如图，在中，．

(1)求作的外接圆；（要求，尺规作图，不写作法．保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，的平分线交于点．连接．若，，求的长．

【推荐1】如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为，两个车轮的圆心的连线与地面平行，测得支架，、所在直线与地面的夹角分别为、，．
          
(1)求扶手前端到地面的距离；
(2)手推车内装有简易宝宝椅，为小坐板，打开后，椅子的支点到点的距离为，，，，求坐板的宽度．（本题答案均保留根号）

【推荐2】如图，矩形中，，，点在上，点在边上，平分．

（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若点是的中点，求的长．

【推荐3】小红发现，任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形．
   
已知：在中，．
求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形．
下面是小红设计的尺规作图过程，
作法：①作的垂直平分线，交斜边于点D；②作直线，则直线就是所求作的直线．
根据小红设计的尺规作图过程．
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上，
∴．（①__________________）（填推理的依据）
∴．（②_________）（填推理的依据）
∵，
∴.
∴．
∴．（③_________）（填推理的依据）
∴和都是等腰三角形．