【推荐1】（1）如图1，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点以及点O 均在格点上．画出以AC为边，O为对角线交点的平行四边形ACA₁C₁．

（2）如图2，画出一个以DF为对角线，面积为6的矩形DEFG，且D和E均在格点上（D，E，F，G按顺时针方向排列）．
（3）如图3，正方形ABCD中，E为BC上一点，在线段AB上找一点F，使得BF=BE，（要求用无刻度的直尺画图，不准用圆规，不写作法，保留画图痕迹）．

【推荐2】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．（提示：取AB的中点H，连接EH．）
（2）如图2，如果把（1）中“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否成立？如果成立，写出证明过程，如果不成立，请说明理由；
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为BC边上（不含点B，C）的某一点时，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF于点F．若点F恰好落在直线y＝﹣3x+4上，请求出此时点E的坐标．

【推荐3】如图，在中，，，．点D从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿向终点C运动；同时点E从C出发，以每秒5个单位长度的速度沿向终点B运动．连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．设点D的运动时间为t秒．

(1)线段的长为________；
(2)当时，求点F到的距离；
(3)当直线与的一条直角边所在直线垂直时，求t的值；
(4)当点F在内部时，若点F到的两边距离相等，直接写出t的值．

【推荐3】在等边的两边、所在直线上分别有两点、，为外一点，且，，．探究：当、分别在直线、上移动时，、、之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．
   
(1)如图1，当点、在边、上，且时，、、之间的数量关系是　　；此时　　；
(2)如图2，点、在边、上，且当时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．
(3)如图3，当、分别在边、的延长线上时，探索、、之间的数量关系如何？并给出证明．

【推荐1】问题提出：
（1）如图①，与均为等边三角形，点C在上，点D在上，固定不动，让绕点O逆时针旋转，当时，则旋转角______．

问题探究：
（2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，垂足为D且，．求面积的最小值．

问题解决：
（3）如图③，是某市“城市花卉公园”的设计示意图，已知四边形为矩形，边上的点E为公园入口，千米，边上的点F为休息区，千米，千米．公园设计师拟在园内修建三条小路将这个园区分为四个区域，用来种植不同的花卉．其中为消防通道，和为两条观光小路（小路宽度不计，G在边上，H在边上），根据实际需要，，点B为园区内的花卉超市，游客可乘车由入口E经观光路线到花卉超市B购买不同品种花卉为了快捷、环保和节约成本，要使观光路线的值最小，请问设计师的想法能否实现？如能，请求出的最小值；若不能，请说明理由．

【推荐3】如图，点P为⊙O外一点，PA、PB与⊙O相切于点A、B，BE为⊙O的直径，连PE交⊙O于点F．

（1）若AFBE，求证：∠APB＝2∠E；
（2）BE与PA的延长线相交于点C，若∠C＝∠BPE，OC＝12，求⊙O的半径．

【推荐1】在中，，．点D在边BC上，且，AE交边BC于点F，连接CE．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当时，请探究的度数是否为定值，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，当时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若，求DF的长．

【推荐2】如图，在四边形中，，过三点的圆交边于点E．

（1）求证：E是的中点；
（2）若，求证：．