【推荐1】阅读下面材料，完成(1)-(3)题．
数学课上，老师出示了这样一道题：
如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向AB左侧作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F．请探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．
同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现∠DFC的度数可以求出来．”
小强：“通过观察和度量，发现线段DF和CF之间存在某种数量关系．”
小伟：“通过作辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”
......
老师：“若以AB为边向AB右侧作等边△ABE，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论．”

（1）求∠DFC的度数；
（2）在图1中探究线段EF、AF、CF之间的数量关系，并证明；
（3）在图2中补全图形，探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．

【推荐2】如图1，在中，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段．

(1)如图1，直接写出的大小；（用含、的式子表示）
(2)如图2，当时，E为外的一点，，，判断的形状，并加以证明．
(3)若将线段也绕点B顺时针旋转得到线段，当C，D，E三点在同一条直线上时，请探究与的数量关系，并说明理由．

【推荐3】如图1，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在边AB、AC上， AD=AE ，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

(1)观察猜想
在图1中，线段PM与PN的数量关系是______，∠MPN的度数是______；
(2)探究证明
若△ABC为直角三角形， ∠BAC=90° ， AB=AC ，点DE分别在边AB，AC上， AD=AE，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图2．连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．判断△PMN的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸
若△ABC中∠BAC=120°， AB=AC=13，点D，E分别在边AB，AC上， AD=AE=5 ，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3．
①△PMN的是______三角形．
②若△PMN面积为S，直接利用①中的结论，求S的取值取值范围．

【推荐1】如图，是外接圆，是的直径，弦于点H，与相交于点G，的延长线交于点F，P是的中点，连接．

(1)求证：是的切线；
(2)若的半径是1，，，求的长？

【推荐2】如图1，O为圆的圆心，C，D为圆上的两点，且，连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．

(1)求证：；
(2)如图2，连接OC，BC，AD．AD与OC，BC分别交于点F，H．若圆的直径为10，，请直接写出AC的值．

【推荐3】如图，四边形ABCD内接于，的半径为4，，对角线AC、BD相交于点P．过点P分别作于点E，于点F．

(1)求证：四边形为正方形；
(2)若，求正方形的边长；
(3)设PC的长为x，图中阴影部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出y的最大值．

【推荐1】阅读下列材料：
已知实数m，n满足 ，试求的值．
解：设，则原方程变为，整理得，，所以，因为，所以,上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)已知实数x、y满足 ，求值；
(2)已知的三边为a、b、c（c为斜边），且a、b满足，外接圆的半径．

【推荐2】如图，平面直角坐标系中有4个点：A（0，2），B（﹣2，﹣2），C（﹣2，2），D（3，3）．
（1）在正方形网格中画出△ABC的外接圆⊙M，圆心M的坐标是　 　；
（2）若EF是⊙M的一条长为4的弦，点G为弦EF的中点，求DG的最大值；
（3）点P在直线MB上，若⊙M上存在一点Q，使得P、Q两点间距离小于1，直接写出点P横坐标的取值范围．

【推荐3】某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【观察与猜想】
(1)如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，则的值为___________；
(2)如图2，在矩形中，，点是上的一点，连接，，且，则的值为___________；
【类比探究】
(3)如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：；
【拓展延伸】
(4)如图4，在中，，，，将沿翻折，点落在点处得，点，分别在边，上，连接，，且，求的值．