【推荐1】（1）阅读思考：
问题：如图1，点是等边边上一点，过点作于点，点关于的对称点为，连接，，延长交于点，探究线段与的数量关系．
小明的思路如下：由对称性可得，．由等边三角形性质知，，则，所以和的位置关系为_____①_____，有．在中有，在中有，所以和的数量关系为_____②_____．
填空：请在①和②两处填上正确的结论分别为__________、__________．
（2）探究证明：
如图2，小华同学将（1）的等边改为一般的等腰，已知，．交射线于点，其它条件不变，请你猜想与的数量关系，并就图2说明理由．（结果包含）
（3）解决问题：
如图3，在四边形中中，对角线平分，，，，，点是射线上一点，过点作，分别交射线，于点，，连接．若时，直接写出的长．

   

【推荐2】在平面直角坐标系中，已知点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，．

(1)如图1，若，求的面积；
(2)如图2，若，点P以2个单位长度每秒的速度从点A出发向终点B运动，当是以为腰的等腰三角形时，求运动时间t；
(3)如图3，以为直角边往右上方作等腰直角，，再以为边往右上方作等边，使得，求线段的长度．

【推荐2】如图，抛物线与x轴交于、两点，交y轴于点，P是第一象限抛物线上一动点．

(1)填空：___________，___________，___________．
(2)如图2，过P点作x轴的垂线，交x轴于点E，交的外接圆于另一点F．
①是否存在点P，使，若存在，请求出点此时P的坐标，并求出线段的长度，若不存在，请说明理由．
②请求出点P在第一象限运动时，线段扫过的面积．

【推荐3】已知关于x的一元二次方程kx²＋（k＋5）x＋5＝0（k≠0）．
（1）求证：方程一定有两个实数根；
（2）若方程的两根为x₁、x₂，且 x₁、x₂都为整数，x₁＜1＜x₂，求整数k的值；
（3）在（2）的条件下，如图，平面直角坐标系中，A（x₁，0），B（x₂，0），以AB为直径作⊙M，与y轴交于C、D．点P（a，1）在平面内运动．
①若点P在⊙M上，求a的值；
②若△PAB为锐角三角形，直接写出a的取值范围．