【推荐1】若一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a和b满足方程组，若这个三角形的周长为整数，求这个三角形的周长．

【推荐2】如图，A、B是⊙O上的两个点，已知P为平面内一点，（P、A、B三点不在同一条直线上）．
（1）若点P在⊙O上，⊙O的半径为1．
①若△APB是直角三角形，请在图1中画出点P的位置；
②当AB=1时，∠APB=           °；
（2）如图2，若点P是⊙O外一点，直线PA、PB交⊙O于点C、D（点C与点A、点D与点B均不重合），连接AD，设，，试用、表示∠APB；
（3）如图3，过点A作射线AM⊥AB，AM交⊙O于点C，
①连接BC，求证：BC是⊙O的直径；
②若AB＝3，AC＝4，点D是平面内的一个动点，且CD=2，E为BD的中点，在点D的运动过程中，直接写出线段AE长度的取值范围．

【推荐3】在中，点D是的中点．

   

(1)如图1，连接，若，求中线的取值范围．小明是这样思考的：延长至E，使，连接，利用三角形全等将边转化到，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中，小明证明三角形全等用到的判定方法是：     ；中线BD的取值范围是      ；
(2)如图2，点M在边上，点N在边上，若，试猜想线段能否构成三角形，并证明你的结论；
(3)如图3，，，连接，探索与的关系，并说明理由．

【推荐1】如图，是线段的中点，平分，平分，．

（1）求证：≌；
（2）若=50°，求的度数．

【推荐2】如图，点A，E，F，C在同一直线上，，，，请问吗？为什么？

【推荐3】如图，点在线段上，，，，平分．

(1)证明：；
(2)若，，求的面积．

【推荐1】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：

   

(1)由已知和作图能得到的理由是________．
A.       B.       C.       D.
(2)求得的取值范围是________．
A.       B.       C.       D.
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
(3)如图2，在四边形中，，的角平分线交于，连接，且平分，猜想①的度数；②、、的数量关系；说明理由．

【推荐2】（1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接．
①证明；
②若，，设，可得的取值范围是 　　；
（2）如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：．

   

【推荐3】【知识回顾】
（1）如图1，在中，是边上的中线，，求的取值范围．

小明和小刚两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路．
①小明同学的思考过程：在中，已知两边和的长度，根据条件只能直接求出BC边的取值范围．而要想求中线的取值范围，只有将中线转化到一个三角形的两边长度是已知量的第三条边上．如图2，可以延长到点E，使，连接，这样就构造了，将求的取值范围，转化为求的边的取值范围；
②小刚同学的解题思路与小明基本一致，也是构造三角形，只是构造方法不同．如图3，过点C作交延长线于点F，于是得到．进而将求的取值范围，转化为求的取值范围．
请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程．
【迁移应用】
（2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题．
如图4，在中，D是边的中点，点E在边上，，求的取值范围．
【能力提升】
（3）如图5，在正方形中，O为对角线的中点，，点G在边上，E为平面内一点且，以为斜边，在的右侧作等腰直角三角形，连接，求的取值范围．

【推荐1】如图1，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度运动；已知AC＝6cm，设动点D，E的运动时间为t．

（1）当点D在射线AM上运动时满足S_△ADB：S_△BEC＝2：1，试求点D，E的运动时间t的值；
（2）当动点D在直线AM上运动，E在射线AN运动过程中，是否存在某个时间t，使得△ADB与△BEC全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．

【推荐2】如图，四边形ABCD是菱形，AD＝5，过点D作AB的垂线DH，垂足为H，交对角线AC于M，连接BM，且AH＝3．动点P从点A出发，沿折线A﹣B﹣C方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，同时动点Q从点C出发，沿CB方向以1个单位/秒的速度向终点B匀速运动，设MPQ的面积为S，运动时间为t秒．

（1）求DM的长；
（2）当点P在BC上运动时，求S与t之间的函数关系式，并求出t的取值范围；
（3）当点P在AB上运动时，是否存在这样的t值，使∠MPB与∠BCD互为余角，若存在，求出t值，若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图将三角形绕点B顺时针旋转得到，使点落在上，已知
求：（1）的度数；
（2）的长度．