【推荐1】在平面直角坐标系中，设二次函数（是实数）
(1)当时，若点在该函数图象上，求的值．
(2)已知，，，从中选择一个点作为该二次函数图象的顶点，判断此时是否在该二次函数的图象上．
(3)已知点，都在该二次函数图象上，求证：．

【推荐2】如图所示，抛物线与x轴相交于与y轴相交于点，点M为抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
(2)如图2，若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，过点N作x轴的垂线，垂足为D，并与直线交于点Q，连接．求面积的最大值及此时点N的坐标．
(3)若点P在y轴上，为等腰三角形，请直接写出P点的坐标。

【推荐3】如图，抛物线y＝ax²+x﹣4a与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，在直线BC上方的抛物线上有一动点E，过点E作EG⊥x轴于G，EG交直线BC于点F，过点E作ED⊥BC于点D．

(1)求抛物线及直线BC的函数关系式；
(2)设S_△EDF为S₁，S_△BGF为S₂，当S₁＝S₂时，求点E的坐标．
(3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在点M，使得∠MAB＝2∠EAB？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图1，已知抛物线与轴交于、两点（点在点左边），与轴交于点，其中．

(1)求线段的长度．
(2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，作轴交于点，为中点，连接，请求出的最大值以及此时点的坐标．
(3)将抛物线水平向右平移个单位后得到抛物线，点、点的对应点分别为点、点，抛物线与轴交于点（点不与原点重合），连接、．在平移过程中，当时，请直接写出的值．

【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于、两点，与轴交于点，连接、，其中，．

(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点是直线上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，求的最大值，并写出此时点的坐标；
(3)如图2，设点是原抛物线的顶点，轴上有一点，将原抛物线沿轴正方向平移恰好经过点时停止，得到新抛物线，点为的对称轴上任意一点，连接，当是等腰三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标．

【推荐3】如图1，抛物线的顶点坐标为，且经过点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，若将抛物线中在轴下方的图象沿x轴翻折到轴上方，轴上方的图象保持不变，就得到了函数，是图象上的任意一点，直线是经过且平行于轴的直线，过点作直线的垂线，垂足为，猜想并探究：与的差是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．

【推荐1】综合与探究
如图，抛物线y=与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作交x轴于点E，交BC于点F．

(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．

【推荐2】综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线）经过，两点，与轴相交于另一点，连接．点是线段上方抛物线上的一个动点，过点作交线段于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点为抛物线对称轴上的一个动点，则的最大值是___________；
(3)求的最大值，并写出此时点的坐标；
(4)在轴上找一点，抛物线上找一点，使以点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．

【推荐3】已知抛物线，与x轴交于A，B两点（点B位于点A的右侧），与y轴交于点C，P是抛物线上的一动点，横坐标为t．
   
(1)下列说法正确的是___．（填序号）
①抛物线开口向上
②当时，y随着x的增大而增大
③点A，B的坐标分别为
④若点P在x轴下方，则
(2)如图，若，点P位于第四象限，过点P作x轴的平行线交于点D，过点P作y轴的平行线交x轴于点E，求的最大值及此时点P的坐标．
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位长度，F为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点G，M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N，使得以F，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．

【推荐1】如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点P，Q为抛物线上两动点．

(1)若点P坐标为，求抛物线的表达式；
(2)如图①，连接，在（1）的条件下，是否存在点，使得．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)若点为抛物线顶点，连接，当的值从变化到的过程中，求线段扫过的面积．

【推荐2】抛物线：与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
   
(1)直接写出点A，B，C的坐标；
(2)如图1，D是第四象限内抛物线上一点，连接，交y轴于点H，若，求点D的坐标；
(3)如图2，将抛物线平移得到抛物线，使其顶点为原点，过点的直线交抛物线于E，F两点（点E在点F的上方），过点E作直线的平行线交抛物线于另一点M，连接，求证：直线必过一定点．

【推荐3】阅读材料：如图的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧的两条平行线之间的距离叫做的“水平宽”，中间的这条直线在内部的线段的长度叫做的“铅垂高”，我们可以得到一种计算三角形面积的新方法：，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高的乘积的一半．
解决下面的问题：
如图（2）已知抛物线过点三点，

（1）求抛物线的解析式．
（2）若为第三象限抛物线上的动点，其横坐标为，的面积为，求关于的解析式，并求的最大值．