【推荐1】【观察猜想】（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，，并延长到点G，使，连接．若，则，，之间的数量关系为 ___________；
【类比探究】（2）如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】（3）如图3，在中，，D，E在上，，若的面积为12，，请直接写出的面积．

【推荐2】在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C₁OD₁，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC₁、BD₁，AC₁与BD₁交于点P．

（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．请直接写出AC₁与BD₁的数量关系和位置关系．
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，判断AC₁与BD₁的数量关系和位置关系，并给出证明；
（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=6，BD=12，连接DD₁，设AC₁=kBD₁，请直接写出k的值和AC₁²+（kDD₁）²的值．

【推荐1】如图，△ABD，△AEC 都是等边三角形

（1）求证：BE＝DC .
（2）设 BE、DC 交于 M，连 AM，求的值.

【推荐2】人教版数学八年级下册教材的数学活动一折纸，引起许多同学的兴趣，实践发现：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开；以为折痕再一次折叠纸片，使点落在折痕上的点处，把纸片展开；连接．
   
(1)如图①，求；
(2)如图②，折叠矩形纸片，使点落在边上点处，并且折痕交边于点，交于点S，把纸片展开，连接交于点，连接．求证：四边形是菱形；
(3)如图③，矩形纸片，，，折叠纸片，使点A落在边上点处，并且折痕交于点T，交于点S，把纸片展平，请直接写出线段的取值范围．

【推荐3】问题提出：如图1所示，等边内接于，点P是上的任意一点，连接．线段满足怎样的数量关系？
（1）尝试解决：为了解决这个问题，小明给出这种解题思路：由条件，，从而将绕点C逆时针旋转交PB延长线于点M，从而证明，请你完成余下思考，并直接写出答案：的数量关系是______；
（2）自主探索：如图2所示，把原问题中的“等边”改成“正方形”，其余条件不变，
①与有怎样的数量关系？请说明理由；
②与的数量关系是______．（直接写出结果）
（3）学以致用：如图3所示，在中，，，，连接，以为底作等腰直角三角形，F是边上的一点，连接和，且，则的长为______．
   

【推荐2】如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，．

(1)求证：；
(2)若，，，求的长和的直径．

【推荐3】【阅读学习】 刘老师提出这样一个问题：已知α为锐角，且tanα=，求sin2α的值．
小娟是这样解决的：
如图1，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，∠BAC=α，所以∠ACB=90°，tanα= = ．
易得∠BOC=2α．设BC=x，则AC=3x，则AB=x．作CD⊥AB于D，求出CD= （用含x的式子表示），可求得sin2α== ．
【问题解决】
已知，如图2，点M、N、P为圆O上的三点，且∠P=β，tanβ = ，求sin2β的值．

【推荐1】如图，点P在射线的上方，、，点M是射线上的动点（点M不与点A重合），现将点P绕点A按顺时针方向旋转到点Q，将点M绕点P按逆时针方向旋转到点N，连接，作直线．

(1)求证：；
(2)直线与以点P为圆心，的长为半径的圆是否存在相切的情况？若存在，请求出此时和的关系，若不存在，请说明理由；
(3)若，当以点P为圆心，长为半径的圆经过点Q时，直接写出劣弧与两条半径所围成的扇形的面积．

【推荐3】【操作发现】（1）如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．如果将绕点A顺时针方向旋转，点B的对应点为，点C的对应点为，连结，此时___________；
【问题解决】（2）在某次数学兴趣小组活动中，小宇和同学遇到了如下问题：如图②，在等边中，点P在内部，且，．求的长．
经过同学们的观察、分析、思考、交流、对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找三边之间的数量关系……请参考他们的想法，完成该问题的解答过程；
【学以致用】（3）如图③，在等边中，，点P在内，，．求的面积；
【思维拓展】（4）如图④，在四边形中，，垂足为E，，，，（k为常数），请直接写出的长（用含k的式子表示）．