【推荐1】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：

【模型呈现】
(1)如图，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到___________，___________．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】
(2)①如图，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；
②如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内任一点．若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．

【推荐2】在平面直角坐标系中，有点，．
（）当点在第一象限的角平分线上时，的值为__________．
（）若线段轴．
①求点、的坐标．
②若将线段平移至线段，点、分别平移至，，则坐标为__________．坐标为__________．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（0，a），C（b，0）满足+|b﹣2|＝0．

(1)直接写出A、C两点的坐标．
(2)如图1，已知坐标轴上有两动点P、Q同时从O点出发，P点沿x轴正方向以2个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点以1个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点D（1，2）为线段AC上一点，设运动时间为t（t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使S_三角形DPC＝S_三角形DQO，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，点G是第二象限上的点，连OG，且OGAC，点F是线段AC上一点，满足∠AOG＝∠AOF．点E是射线OA上一动点，连CE交直线OF于点H，当点E在射线OA上运动的过程中，请确定∠OHC，∠ACE和∠OEC的数量关系，并说明理由．

【推荐1】已知点为和的公共顶点，将绕点顺时针旋转，连接，，请完成如下问题：
   
(1)如图1，若和均为等边三角形，线段与线段的数量关系是______；
(2)类比探究：如图2，若，，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系，并说明理由；
(3)拓展应用：如图3，是内一点，，，，，直接写出的长．

【推荐2】已知：在外分别以，为边作与．

(1)如图1，与分别是以，为斜边的等腰直角三角形，连接，以为直角边构造，且，连接，，．
求证：
①；
②四边形是平行四边形．
(2)如图2，在外分别以，为斜边作与，并使，取BC的中点D，连接DE，EF请求出的值及的度数．
(3)如图3，在外分别以，为底边作等腰三角形和等腰三角形，并使与之和为，取的中点D，连接，，当，，，请用含a，b的代数式直接写出的值，用含α的代数式直接表示的度数．

【推荐3】已知：正方形中，E是的中点，F是上一点，且，、交于点G，连接平分交于H，连接．

(1)求证：；
(2)求证：是等腰直角三角形．

【推荐3】如图，在△ABC中，AB＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．
(1)经过多少秒，△BMN为等边三角形；
(2)经过多少秒，△BMN为直角三角形．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点(不与原点O重合)，以线段AP为一边在其右侧作等边三角形APQ．

(1)求点B的坐标．
(2)在点P运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？若不改变，求出其大小；若改变，请说明理由．
(3)连接OQ，当OQ∥AB时，求点P的坐标．

【推荐2】如图，已知等边，点为内的一点，连接，以为边向上方作等边，连接（）．

（1）求证：．
（2）请判断的形状，并证明你的结论．
（3）若，求的度数及的面积（用含的代数式表示）．

【推荐3】如图①，线段，交于点，若与，与中有一组内错角成两倍关系，则称与为倍优三角形，其中成两倍关系的内错角中，较大的角称为倍优角．

（1）如图②，在四边形中，对角线，交于点，，为等边三角形．求证：与为倍优三角形．

（2）如图③，正方形边长为，点为边上一动点（不与点，重合）连接和，对角线和交于点，当与为倍优三角形时，求的正切值．