【推荐1】已知：在梯形中，，，，点在对角线上(不与点重合)，，的延长线与射线交于点，设的长为．
（1）如图，当时，求的长；
（2）设的长为，求关于的函数解析式，并直接写出定义域；
（3）当是等腰三角形时，求的长．
     

【推荐2】（1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点F．填空：
①线段，之间的数量关系为________；②的度数为______．
（2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，直线和直线交于点F，请判断的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3所示，和均为直角三角形，，，当点B在线段的延长线上时，求线段和的长度．

【推荐1】如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝6，BO＝6，以点O为圆心，以2为半径作优弧，交AO于点D，交BO于点E．点M在优弧上从点D开始移动，到达点E时停止，连接AM．

(1)当AM＝4时，判断AM与优弧的位置关系，并加以证明；
(2)当MOAB时，求点M在优弧上移动的路线长及线段AM的长；
(3)连接BM，设△ABM的面积为S，直接写出S的取值范围．

【推荐2】小明在数学学习中遇到了这样一个问题：“如图1，在中，，点P在边上，过点P作于点Q，O为边的中点，连接并延长到点M，使，连接．请你帮他探究：

特例探究：
(1)填空：如图1，当时，____________；
(2)证明：如图2，当时，将绕点A逆时针方向旋转，连接，线段，之间的数量关系如何？请仅就图2所示情况说明理由．
应用探究：
(3)在（2）的条件下，在中，若，将由初始位置绕点A逆时针方向旋转角，当点Q到直线的距离为4时，请直接写出线段的值．

【推荐3】如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA．

(1)求证：EF为半圆O的切线；
(2)若DA＝DF＝6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）